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Páginas: 90 (22393 palabras)
Publicado: 30 de abril de 2012
Notas sobre geometr´ diferencial ıa
por Jos´ Antonio Belinch´n e o
2
´ Indice General
1 Geometr´ diferencial elemental. ıa 1.1 Definiciones b´sicas. . . . . . . . . . . . . a 1.2 Curvatura. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Clasificaci´n de los puntos de M . . . . . o 1.4 El operador de Forma . . . . . . . . . . . 1.4.1 Conexi´n de una hipersuperficie. o 1.4.2 Hipersuperficiesconvexas. . . . . 1.4.3 El tensor de curvatura. . . . . . . 2 Conexiones lineales. 2.1 Conexiones lineales. . . . . . . . . . 2.1.1 Tensor de curvatura. . . . . 2.1.2 Ejemplos. . . . . . . . . . . . 2.2 Ecuaciones de Cartan. . . . . . . . 2.2.1 Sistemas de referencia . . . 2.2.2 Formas de conexi´n. . . . . o 2.2.3 Ecuaciones estructurales. . 2.2.4 Ecuaciones fundamentales. 2.3 Variedades Riemannianas.. . . . . 2.3.1 Proposici´n 1.4.4 del [SW ] . o 5 5 7 10 14 16 17 18 21 21 24 24 27 28 28 30 30 31 33 39 39 39 39 40 42 45 45 46 47 48 50 51
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3Integraci´n en vatiedades. o 3.1 Introducci´n. . . . . . . . . . . . . . . . . o 3.2 Orientaci´n en variedades. . . . . . . . o 3.2.1 Orientaci´n de hipersuperficies. o 3.2.2 En variedades. . . . . . . . . . . . 3.3 Integraci´n en variedades. . . . . . . . . o 3.4 Versi´n cl´sica del teorema de Stokes. o a 3.4.1 Integral de l´ ınea. . . . . . . . . . 3.4.2 Integral de superficie. . . . . . . 3.4.3Teorema de Green. . . . . . . . . 3.4.4 Teorema de Stokes. . . . . . . . . 3.4.5 Teorema de la divergencia. . . . 3.5 M´s ejemplos. . . . . . . . . . . . . . . . a
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4 Teor´ de Morse. ıa 57 4.1 Introducci´n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 o 4.2 Sistemas Hamiltonianos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
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´ INDICE GENERAL
4.2.1Puntos cr´ ıticos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
59 63 63 63 64 69 70 72
5 Prontuario matem´tico. a 5.1 Variedades. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Campos vectoriales. . . . . . . . . . . . . . . . 5.3 Campos tensoriales. Formas diferenciales. . 5.4 Teor´ de integraci´n en variedades. . . . . ıa o 5.5 Conexi´n af´ y derivada covariante. . . . . o ın 5.6 Variedadesriemannianas. . . . . . . . . . . .
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Cap´ ıtulo 1 GEOMETR´ DIFERENCIAL ELEMENTAL. IA
1.1 Definiciones b´sicas. a
Definici´n 1.1.1 Variedad. Una parametrizaci´n d-dimensional es (U, ϕ) / U ⊂ o o Rd abierto y ϕ : U −→M homeomorfismo diferenciable / rang ∂(ϕ1 , ....., ϕn ) ∂(x1 , ....., xn ) =d
|p
(1.1)
Entendemos por variedad d-dimensional como un subconjunto de Rd que admite una parametrizaci´n d − D. o Teorema 1.1.1 Sea U ⊂ RN F : U −→ Rr diferenciable con d = N − r > 0 / M = x ∈ RN / F (x) = 0 ∀ x ∈ M rang entonces M es variedad euclidea. Teorema 1.1.2 Tp M tiene estructura de espacio vectorial. Tp...
por Jos´ Antonio Belinch´n e o
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´ Indice General
1 Geometr´ diferencial elemental. ıa 1.1 Definiciones b´sicas. . . . . . . . . . . . . a 1.2 Curvatura. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Clasificaci´n de los puntos de M . . . . . o 1.4 El operador de Forma . . . . . . . . . . . 1.4.1 Conexi´n de una hipersuperficie. o 1.4.2 Hipersuperficiesconvexas. . . . . 1.4.3 El tensor de curvatura. . . . . . . 2 Conexiones lineales. 2.1 Conexiones lineales. . . . . . . . . . 2.1.1 Tensor de curvatura. . . . . 2.1.2 Ejemplos. . . . . . . . . . . . 2.2 Ecuaciones de Cartan. . . . . . . . 2.2.1 Sistemas de referencia . . . 2.2.2 Formas de conexi´n. . . . . o 2.2.3 Ecuaciones estructurales. . 2.2.4 Ecuaciones fundamentales. 2.3 Variedades Riemannianas.. . . . . 2.3.1 Proposici´n 1.4.4 del [SW ] . o 5 5 7 10 14 16 17 18 21 21 24 24 27 28 28 30 30 31 33 39 39 39 39 40 42 45 45 46 47 48 50 51
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3Integraci´n en vatiedades. o 3.1 Introducci´n. . . . . . . . . . . . . . . . . o 3.2 Orientaci´n en variedades. . . . . . . . o 3.2.1 Orientaci´n de hipersuperficies. o 3.2.2 En variedades. . . . . . . . . . . . 3.3 Integraci´n en variedades. . . . . . . . . o 3.4 Versi´n cl´sica del teorema de Stokes. o a 3.4.1 Integral de l´ ınea. . . . . . . . . . 3.4.2 Integral de superficie. . . . . . . 3.4.3Teorema de Green. . . . . . . . . 3.4.4 Teorema de Stokes. . . . . . . . . 3.4.5 Teorema de la divergencia. . . . 3.5 M´s ejemplos. . . . . . . . . . . . . . . . a
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4 Teor´ de Morse. ıa 57 4.1 Introducci´n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 o 4.2 Sistemas Hamiltonianos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
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4.2.1Puntos cr´ ıticos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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5 Prontuario matem´tico. a 5.1 Variedades. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Campos vectoriales. . . . . . . . . . . . . . . . 5.3 Campos tensoriales. Formas diferenciales. . 5.4 Teor´ de integraci´n en variedades. . . . . ıa o 5.5 Conexi´n af´ y derivada covariante. . . . . o ın 5.6 Variedadesriemannianas. . . . . . . . . . . .
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Cap´ ıtulo 1 GEOMETR´ DIFERENCIAL ELEMENTAL. IA
1.1 Definiciones b´sicas. a
Definici´n 1.1.1 Variedad. Una parametrizaci´n d-dimensional es (U, ϕ) / U ⊂ o o Rd abierto y ϕ : U −→M homeomorfismo diferenciable / rang ∂(ϕ1 , ....., ϕn ) ∂(x1 , ....., xn ) =d
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(1.1)
Entendemos por variedad d-dimensional como un subconjunto de Rd que admite una parametrizaci´n d − D. o Teorema 1.1.1 Sea U ⊂ RN F : U −→ Rr diferenciable con d = N − r > 0 / M = x ∈ RN / F (x) = 0 ∀ x ∈ M rang entonces M es variedad euclidea. Teorema 1.1.2 Tp M tiene estructura de espacio vectorial. Tp...
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