Lider

LA INTEGRAL.
Integral Indefinida

Dada una función f, si F es una función tal que
F´(x) = f(x),
Entonces F se llama antiderivada de f. Así,+
una antiderivada de f es simplemente una función cuya derivada es f.

Una antiderivada de una función F tal que
F´(x) = f(x), ó dF = f(x) dx.
Por ejemplo, como la derivada de x2 es 2x, x2 es una antiderivada de 2x, sin
embargo, no es la única,veamos por qué. Como,
d2
( x + 1) = 2 x
dx

y

d2
( x − 5) = 2 x
dx

Tanto x2 + 1 como x2 – 5 son también antiderivadas de 2x. Es claro que como la
derivada de una constante es cero, x2 + C es también una antiderivada de 2x para cualquier
constante C. Así, 2x tiene un número infinito de antiderivadas. Lo más importante, es que
todas las antiderivadas de 2x deben ser funciones de laforma x2 + C, debido a que:

Dos antiderivadas cualesquiera de una función difieren sólo en una constante.
Como la expresión x2 + C describe todas las antiderivadas de 2x, podemos
referirnos a ella como la antiderivada más general de 2x, denotada por

∫ 2 xdx , que se lee

“integral indefinida de 2x respecto a x”. Escribimos entonces:

∫ 2 xdx = x

2

+C .

El símbolo ∫ se llamasímbolo de integración, 2x es el integrando y C la

constante de integración. La dx es parte la notación integral e indica la variable
implicada. Aquí, x es la variable de integración.

127

En forma más general, la integral indefinida de cualquier función f con respecto a
x se escribe

∫ f ( x)dx

y denota la antiderivada más general de f. Como todas las

antiderivadas de f difieren sóloen una constante, si F es cualquier antiderivada de f,
entonces.

∫ f ( x)dx = F ( x) + C , donde C es una constante.
En resumen Integrar significa encontrar

∫ f ( x)dx = F ( x) + C ,

∫ f ( x)dx .

si y sólo si

F´(x) = f(x).

Usando las fórmulas de diferenciación vistas en el apartado anterior, se pueden
compilar una lista de fórmulas básicas de integración, las cuales sonfácilmente
verificables. Las más útiles en el campo económico se presentan a continuación:

Fórmulas básicas de Integración
1. ∫ kdx = kx + C ,
2.
3.

n
∫ x dx =

x n +1
+ C,
n +1

∫ e dx = e
x

k es una constante.

x

n ≠ -1.

+C

4. kf ( x)dx = k ∫ f ( x)dx,
5. ∫ [ f ( x) ± g ( x)]dx =
6.

k es una constante.

∫ f ( x)dx ± ∫ g ( x)dx.

1

∫ x dx = ln | x | +C.

Acontinuación se presentan ejemplos de cada una de estas fórmulas.

EJEMPLO 65:
Encontrar ∫1dx.

Solución: Por la fórmula 1 con k = 1,

∫1dx = 1x + C = x + C.
128

Usualmente escribimos ∫1dx como ∫ dx . Entonces, ∫ dx = x + C.

EJEMPLO 66:
Encontrar

∫ x dx
5

Solución: Por la fórmula 2 con n = 5,
x 5 +1
x6
∫ x dx = 5 + 1 + C = 6 + C .
5

EJEMPLO 67:
Encontrar ∫ 7 xdx .Solución: Por la fórmula 4 con k = 7 y f(x) = x,

∫ 7 xdx = 7 ∫ xdx
Como x es x1, por la fórmula 2 tenemos
1
∫ x dx =

x1+1
x2
+ C1 =
+ C1
1+1
2

donde C1 es la constante de integración. Por tanto,
⎡ x2
⎤7
7 xdx = 7 ∫ xdx = 7 ⎢ + C1 ⎥ = x 2 + 7C1
∫
⎣2
⎦2
Como 7C1 es una constante arbitraria, por simplicidad la reemplazamos por C. Así,
72
∫ 7 xdx = 2 x + C .

EJEMPLO 68:3
Encontrar ∫ − e x dx .
5
Solución:
3

3

∫ − 5 e dx = − 5 ∫ e dx
x

x

3
= − ex + C
5

(fórmula 4)
(fórmula 3).

EJEMPLO 69:
Encontrar

∫

1
dt
t

129

Solución: Aquí, t es la variable de integración. Rescribimos el integrando de
manera que podamos usar una fórmula básica. Como 1/ t = t-1/2, al aplicar la fórmula 2
obtenemos:

∫

t ( −1 / 2 ) +1
t1 / 2
1dt = ∫ t −1 / 2 dt =
+C =
+C = 2 t +C.
1
1
t
− +1
2
2

EJEMPLO 70:
Encontrar

1

∫ 6x

3

dx

Solución:
−3 +1
1
1 −3
⎛1⎞ x
∫ 6 x3 dx = 6 ∫ x dx = ⎜ 6 ⎟ − 3 + 1 + C
⎝⎠

=−

1
x −2
+C = −
+C.
12
12 x 2

EJEMPLO 71:
Encontrar ∫ ( x 2 + 2 x)dx

Solución: Por la fórmula 5,

∫ (x

2

+ 2 x)dx = ∫ x 2 dx + ∫ 2 xdx
x3
x2
x3
+ (2) + C = + x 2 + C
= ∫...