limites, continuidad y derivadas

Límites.

Definición. (Límite de una función). Sea f una función definida en cada punto de un intervalo abierto que contenga al punto c, con la posible excepción del mismo punto a. Entonces, se dice que el límite de cuando x tiende a c es L, y se escribe



si para todo número existe un número correspondiente tal que si



entoncesFigura 1. Gráfica que ilustra la definición de límite de una función.

La definición de límite nos dice que si



entonces, para cualquier vecindad de radio que establezcamos arbitrariamente cerca de L, siempre existirá una vecindad de radio centrada en c, para la cual las imágenes de todos los elementos x dentro de esa vecindad caerán dentro del intervalo establecidoObservaciones.
En la definición se excluye la posible evaluación de la función f en el punto cuando se considera la vecindad perforada El conjunto de elementos del dominio que pertenecen a dicha vecindad se representan por el conjunto
El radio del intervalo depende del tamaño del intervalo definido Es decir,
La estrategia para probar que el límite de una función f cuando x se aproxima a c, es L,consiste en establecer una arbitraria y encontrar la correspondiente.

Ejemplo:

1.

Para toda existe una tal que si entonces Si elijo una la delta deberá ser, obviamente, de si también En general, la condición se cumple cuando elegimos

2.

Para toda existe una tal que si entonces Como entonces y la condición se cumple si


Algunos teoremas sobre límites.

Dela definición de límite se puede demostrar que.

Supóngase que c es una constante y que los límites existen. Entonces
1.
2.
3.
4.
5.

Si aplicamos la ley del producto repetidas veces, con obtenemos
6.

Como es fácil probar para la función constante y como se demostró en el ejemplo 1, y, se tiene

7.
8.

Si combinamos los teoremas 6 y 8, obtenemos

9. Donde n es unentero positivo.
También se cumple un teorema semejante para las raíces.

10. Donde n es un entero positivo. Si n es par, entonces

Respecto a la composición de funciones, se cumple el teorema

11.
12. Donde n es un entero positivo.
(Si n es par, suponemos que

Como un corolario a estos teoremas, se tiene que

Si f es un polinomio o una función racional y a está en el dominiode f, entonces



Las funciones con esta propiedad de sustitución directa se llaman funciones continuas. ¿Qué sucede en el caso de que la función f no esté definida en un punto donde se quiere evaluar la función?

Teorema. Suponga que dos funciones f y g son iguales dentro de un intervalo excepto en el punto Esto es Suponga que existe y Entonces



Observación. Puedesuceder, incluso, que no esté definida en


Límites laterales.

El límite por la derecha de una función. Supongamos que f está definida en el intervalo abierto inmediato a la derecha de a. Entonces decimos que el número L es el límite por la derecha de cuando x tiende hacia a, y escribimos



si existe tal que para toda x tal que

El límite por la izquierda de una función.Supongamos que f está definida en el intervalo abierto inmediato a la izquierda de a. Entonces decimos que el número L es el límite por la izquierda de cuando x tiende hacia a, y escribimos



si existe tal que para toda x tal que











Figura 1. Límites por la derecha y por la izquierda de una función.

Teorema. Suponga que la función f está definida en una vecindadperforada del punto a. Entonces,



existe y es igual al número L si y sólo si los límites laterales existen y son iguales a L.

Cuando tenemos funciones seccionalmente definidas, el procedimiento para determinar si un límite global existe cuando consiste en evaluar los límites laterales, de acuerdo con las definiciones de la función a la izquierda y derecha del punto




Límites...