limites de funciones
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Publicado: 26 de agosto de 2014
2.4 LIMITES DE FUNCIONES.
El límite de una función es un concepto fundamental del análisis matemático, un caso de límite aplicado a las funciones.
Informalmente, el hecho que una función f tiene un límite L en el punto c, significa que el valor de f puede ser tan cercano a L como se desee, tomando puntos suficientemente cercanos a c, independientemente de lo que ocurra en c.
Si la funcióntiene límite en podemos decir de manera informal que la función tiende hacia el límite cerca de si se puede hacer que esté tan cerca como queramos de haciendo que esté suficientemente cerca de siendo distinto de .
Los conceptos cerca y suficientemente cerca son matemáticamente poco precisos. Por esta razón, se da una definición formal de límite que precisa estos conceptos. Entonces sedice:
El límite de una función f(x), cuando x tiende a c es L si y sólo si para todo existe un tal que para todo número real x en el dominio de la función .
2.5 FUNCIONES CONTINUAS.
Una función continua es aquella para la cual, intuitivamente, para puntos cercanos del dominio se producen pequeñas variaciones en los valores de la función. Si la función no es continua, se dice que esdiscontinua. Una función continua de en es aquella cuya gráfica puede dibujarse sin levantar el lápiz del papel.
La continuidad de funciones es uno de los conceptos principales del análisis matemático y de la topología. El artículo describe principalmente la continuidad de funciones reales de una variable real.
Informalmente hablando, una función f definida sobre un intervalo I es continua si la curvaque la representa, es decir el conjunto de los puntos (x, f(x)), con x en I, está constituida por un trazo continuo, es decir un trazo que no está roto.
El intervalo I de x es el dominio de definición de f, definido como el conjunto de los valores de x para los cuales f(x) existe. El intervalo J de y es el rango (también conocido como imagen) de f, el conjunto de los valores de y, tomados como y= f(x). Se escribe J = f(I). Notar que en general, no es igual que el codominio.
Dado f(x) = ax2 + bx + c.
lim┬(h→0)= (f(x+h)- f(x))/h
= (a (x+〖h)〗^2+ b (x+h)+ c-(ax^2+ bx+c))/h = (a (x^2+ 2xh+ h^2 )+ b (x+h)+ c - (ax^2+ bx+c))/h
= (2axh+ah^2+ bh)/h = (h (2ax+ah+ b))/h
lim┬(h→0)〖2ax+ah+b〗 = 2ax+a (0)+ b
∴ = 2ax+b.
Demostrarla siguiente igualdad:
lim┬(x→ ∞)〖(4x+5)/(2x+3)〗=2
lim┬(x→ ∞)〖(4x/x+5/x)/(2x/x+3/x)〗=2 = lim┬(x→ ∞)〖(4+5/∞)/(2+3/∞)〗=2
(4+0)/(2+0) = 2 4/2 = 2 2 = 2
3.1 DEFINICION DE DERIVADA.
La derivada de una función es una medida de la rapidez con la que cambia el valor de dicha función matemática, según cambie el valor de su variableindependiente. La derivada de una función es un concepto local, es decir, se calcula como el límite de la rapidez de cambio media de la función en un cierto intervalo, cuando el intervalo considerado para la variable independiente se torna cada vez más pequeño. Por ello se habla del valor de la derivada de una cierta función en un punto dado.
La derivada de una función f en un punto x se denota como f′(x).La función cuyo valor en cada punto x es esta derivada es la llamada función derivada de f, denotada por f′. El proceso de encontrar la derivada de una función se denomina diferenciación, y es una de las herramientas principales en el área de las matemáticas conocida como cálculo infinitesimal. Concretamente, el que trata de asuntos vinculados con la derivada se denomina cálculo diferencial.3.1.1 Interpretación geométrica e interpretación física
Interpretación geométrica
La derivada de f en a es la pendiente de la recta tangente a la gráfica de f en el punto a, que se conoce como f en el punto a.
Pendiente de la secante: (f (x)- f (a))/(x-a) → Pendiente de la tangente: 〖lim┬(x→a) 〗〖(f(x)-f(a))/(x-a)=f^' (a)〗
Interpretación física.
Si x (t) es la...
El límite de una función es un concepto fundamental del análisis matemático, un caso de límite aplicado a las funciones.
Informalmente, el hecho que una función f tiene un límite L en el punto c, significa que el valor de f puede ser tan cercano a L como se desee, tomando puntos suficientemente cercanos a c, independientemente de lo que ocurra en c.
Si la funcióntiene límite en podemos decir de manera informal que la función tiende hacia el límite cerca de si se puede hacer que esté tan cerca como queramos de haciendo que esté suficientemente cerca de siendo distinto de .
Los conceptos cerca y suficientemente cerca son matemáticamente poco precisos. Por esta razón, se da una definición formal de límite que precisa estos conceptos. Entonces sedice:
El límite de una función f(x), cuando x tiende a c es L si y sólo si para todo existe un tal que para todo número real x en el dominio de la función .
2.5 FUNCIONES CONTINUAS.
Una función continua es aquella para la cual, intuitivamente, para puntos cercanos del dominio se producen pequeñas variaciones en los valores de la función. Si la función no es continua, se dice que esdiscontinua. Una función continua de en es aquella cuya gráfica puede dibujarse sin levantar el lápiz del papel.
La continuidad de funciones es uno de los conceptos principales del análisis matemático y de la topología. El artículo describe principalmente la continuidad de funciones reales de una variable real.
Informalmente hablando, una función f definida sobre un intervalo I es continua si la curvaque la representa, es decir el conjunto de los puntos (x, f(x)), con x en I, está constituida por un trazo continuo, es decir un trazo que no está roto.
El intervalo I de x es el dominio de definición de f, definido como el conjunto de los valores de x para los cuales f(x) existe. El intervalo J de y es el rango (también conocido como imagen) de f, el conjunto de los valores de y, tomados como y= f(x). Se escribe J = f(I). Notar que en general, no es igual que el codominio.
Dado f(x) = ax2 + bx + c.
lim┬(h→0)= (f(x+h)- f(x))/h
= (a (x+〖h)〗^2+ b (x+h)+ c-(ax^2+ bx+c))/h = (a (x^2+ 2xh+ h^2 )+ b (x+h)+ c - (ax^2+ bx+c))/h
= (2axh+ah^2+ bh)/h = (h (2ax+ah+ b))/h
lim┬(h→0)〖2ax+ah+b〗 = 2ax+a (0)+ b
∴ = 2ax+b.
Demostrarla siguiente igualdad:
lim┬(x→ ∞)〖(4x+5)/(2x+3)〗=2
lim┬(x→ ∞)〖(4x/x+5/x)/(2x/x+3/x)〗=2 = lim┬(x→ ∞)〖(4+5/∞)/(2+3/∞)〗=2
(4+0)/(2+0) = 2 4/2 = 2 2 = 2
3.1 DEFINICION DE DERIVADA.
La derivada de una función es una medida de la rapidez con la que cambia el valor de dicha función matemática, según cambie el valor de su variableindependiente. La derivada de una función es un concepto local, es decir, se calcula como el límite de la rapidez de cambio media de la función en un cierto intervalo, cuando el intervalo considerado para la variable independiente se torna cada vez más pequeño. Por ello se habla del valor de la derivada de una cierta función en un punto dado.
La derivada de una función f en un punto x se denota como f′(x).La función cuyo valor en cada punto x es esta derivada es la llamada función derivada de f, denotada por f′. El proceso de encontrar la derivada de una función se denomina diferenciación, y es una de las herramientas principales en el área de las matemáticas conocida como cálculo infinitesimal. Concretamente, el que trata de asuntos vinculados con la derivada se denomina cálculo diferencial.3.1.1 Interpretación geométrica e interpretación física
Interpretación geométrica
La derivada de f en a es la pendiente de la recta tangente a la gráfica de f en el punto a, que se conoce como f en el punto a.
Pendiente de la secante: (f (x)- f (a))/(x-a) → Pendiente de la tangente: 〖lim┬(x→a) 〗〖(f(x)-f(a))/(x-a)=f^' (a)〗
Interpretación física.
Si x (t) es la...
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