LIMITES DE FUNCIONES

Juan Antonio González Mota

Profesor de Matemáticas

del Colegio Juan XIII Zaidín de Granada

LÍMITES DE FUNCIONES.

LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO.
Sea y = f(x) una función real de variable real. De una manera intuitiva y poco precisa,
diremos que el límite de f(x) es L, cuando x se aproxima a p, si ocurre que cuanto más próximo
esté x a p, más se aproxima los valores de la función f(x) a L.Es importante comprender que el concepto de límite se refiere a las proximidades del
punto y nada tiene que ver con el punto, donde la función puede o no existir, o tomar un valor
distinto que el del límite.
DEFINICION 1.
Se dice que el límite de la función y = f(x), cuando x tiende a p, es igual a L, y
escribiremos lím f ( x) = L, sí y sólo sí, dado cualquier ε positivo, siempre es posibleencontrar al
x→ p

menos un δ, también positivo y dependiente de él, tal que, si la diferencia de la variable al punto,
en valor absoluto, es menor que δ, entonces la diferencia entre los valores de la función en
dichos puntos y el límite, en valor absoluto, se mantiene menor que el ε dado.
De una forma simbólica:
lím f ( x) = L ⇔ ∀ε > 0 ∃δ > 0 / x − p < δ
x→ p

⇒

f ( x) − L < ε

A los extremos de larecta real tan sólo nos podemos aproximar por uno de sus lados, es
decir, que a +∞ sólo nos podemos acercar por su izquierda, mientras que a −∞ sólo nos
podemos acercar por su derecha. Sin embargo, a cualquier otro punto p de la recta real nos
podemos aproximar por ambos lados: por su izquierda (mediante valores menores que p) p− o
por su derecha (mediante valores mayores que p) p+.
Puede resultarinteresante ver que ocurre en la función al aproximarnos a p por cada
lado: aparecen de esta manera los límites laterales de una función en un punto p.
DEFINICION 2: Límite por la izquierda.
Se dice que el límite por la izquierda de una función f(x) es L1, cuando x tiende
hacia p, y se escribe lím− f ( x) = L1 , si para todo ε > 0 existe un
δ > 0, tal que si
x→ p

0 < p − x < δ , entonces severifica que f ( x ) − L1 < ε .
DEFINICION 3: Límite por la derecha.
Se dice que el límite por la derecha de una función f(x) es L2, cuando x tiende hacia
p, y se escribe lím+ f ( x) = L2 , si para todo ε > 0 existe un δ > 0, tal que si 0 < x − p < δ ,
x→ p

entonces se verifica que f ( x ) − L2 < ε .
LÍMITES DE FUNCIONES

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Juan Antonio González Mota

Profesor de Matemáticas

del Colegio Juan XIIIZaidín de Granada

Cuando ambos límites laterales existan y sean iguales, entonces existirá límite de la
función en el punto p.
lím f ( x) = L ⇔

lím f ( x) = L

x→ p −

x→ p

y

lím f ( x) = L

x→ p +

⇔ ∀ε > 0 ∃δ > 0 / x − p < δ

⇒

⇔
f ( x) − L < ε

Podemos deducir que el límite de una función en un punto no existe cuando alguno de
los límites laterales en dicho punto no existe, o bien aúnexistiendo ambos, no toman el mismo
valor.
PROPIEDADES DE LOS LIMITES.
1. Unicidad del límite: El límite de una función en un punto, si existe, es único.
2. Si una función tiene límite en un punto, está acotada en dicho punto.
3. Si una función tiene límite en un punto, entonces existe un entorno de dicho punto en el cual
la función tiene el mismo signo que el límite.
4. Si una función toma infinitosvalores positivos e infinitos valores negativos en un entorno
de un punto y tiene límite en dicho punto, entonces su límite es igual a cero.
5. Si lím f ( x ) = L, lím g ( x) = L' y L < L', entonces f ( x) < g ( x) en un entorno reducido de p
x→ p

x→ p

6. Si lím f ( x ) = L, lím g ( x) = L' y en un entorno reducido de p se verifica que f ( x) < g ( x) ,
x→ p

x→ p

entonces L < L'.
7. Si lím f (x ) = L, lím g ( x) = L' y
x→ p

x→ p

f ( x) < h( x) < g ( x) en un cierto entorno reducido de p,

entonces lím h( x) = L.
x→ p

LÍMITES INFINITOS.
•

Se dice que

lím f ( x) = +∞ cuando dado un número K, podemos encontrar otro número

x→ p −

δ > 0 tal que si 0 < p − x < δ
•

Se dice que

Se dice que

f ( x) > K .

lím f ( x) = +∞ cuando dado un número K, podemos encontrar otro número

x→ p...