Limites De varias Variamles

Tema 10: Funciones de varias variables. Funciones vectoriales. Límites y continuidad
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Funciones de varias variables

Observación 1.1 Conviene repasar, en este punto, lo dado en el Tema 8 para topología en Rn :
bolas, puntos interiores y de acumulación, conjuntos abiertos, cerrados, actados y compactos, en
especial en el plano R2 y en el espacio tridimensional R3 .
Definición 1.2Llamaremos función real de varias variables (o campo escalar) a toda función
f : Rn → R
Y llamaremos función vectorial de varias variables (o campo vectorial) a toda función
f : Rn → Rm
En ambos casos se dice que f es una función de n variables.
Ejemplo 1.3

i) f : R2 → R dada por
f (x, y) = x2 y + ecos y log x − 3

es una función real de 2 variables.
ii) f : R3 → R dada por
f (x, y, z) =cos(x − y − 2) +

√
z 5 − 1 tan(ex+y )

es una función real de 3 variables.
iii) f : Rn → R dada por

√2 2
x +x +...+x2
n
f (x1 , x2 , ..., xn ) = e 1 2

es una función real de n variables.
iv) f : R3 → R2 dada por
f (x, y, z) = (x − y + z − 20, z log[ezy − 7])
es una función vectorial de 3 variables y 2 coordenadas.
v) f : R4 → R5 dada por
f (x, y, z, t) = (x − y, x cos z, t2 + ey ,0, 3 − xyzt)
es una función vectorial de 4 variables y 5 coordenadas.
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Definición 1.4 Sea f : Rn → Rm (una función vectorial). Llamaremos funciones coordenadas
de f a las funciones
f1 , f2 , ..., fm : Rn → R
que verifican que
f (x1 , x2 , ..., xn ) = (f1 (x1 , x2 , ..., xn ), f2 (x1 , x2 , ..., xn ), ..., fm (x1 , x2 , ..., xn ))
En esta situación pondremos
f = (f1 , f2 , ..., fm )Observación 1.5 Para el ejemplo iv) anterior se tiene que
f : R3 → R2
tiene por funciones coordenadas
f1 , f2 : R3 → R
dadas por
f1 (x, y, z) = x − y + z − 20

f2 (x, y, z) = z tan[exy ]
Para el ejemplo v) anterior se tiene que
f : R4 → R5
tiene por funciones coordenadas

f1 , f2 , f3 , f4 , f5 : R4 → R
dadas por
f1 (x, y, z, t) = x − y

f2 (x, y, z, t) = x cos z

f3 (x, y, z, t) =t2 + ey

f4 (x, y, z, t) = 0 f5 (x, y, z, t) = 3 − xyzt
Igual que en el caso de funciones reales de una variable real (f : R → R) se entiende por dominio
de una función de varias variables al conjunto de puntos de Rn en el cual tienen sentido todas las
expresiones que definen a la función. Si f = (f1 , f2 , ..., fm ) es una función vectorial se tiene además
que
Domf = Domf1 ∩ Domf2 ∩ ... ∩Domfm
De todos modos, al igual que ocurría con funciones reales de variable real, el dominio puede estar
restringido sin necesidad de ser el dominio máximo posible.

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Observación 1.6 En el ejemplo i) anterior el dominio está formado por todos los puntos (x, y) que
cumplen que x > 0.
En el ejemplo ii) el dominio está formado por todos los puntos (x, y, z) de R3 que verifican
z 5 − 1 ≥ 0y cos(ex+y ) 6= 0, simultáneamente.
En el ejemplo iii) el dominio es todo Rn , así como en el ejemplo v).
Finalmente en el ejemplo iv) el dominio está formado por todos los puntos (x, y, z) de R3 que
verifican ezy > 7.
El dominio de la función
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)
f (x, y) = cos( 2
x + y2
es todo R2 salvo el punto (0, 0) (observar que es el único punto que hace nula la suma de cuadrados
x2 + y 2 .
Parala función
x2 + y 2
g(x, y) =
xy
el dominio es
Domg = {(x, y) ∈ R2 tales que xy 6= 0},
en definitiva todo R2 salvo los ejes coordenados x = 0 e y = 0.
√
2
Y el dominio de la función h(x, y) = ( x , log(x − y), x2 − 1) es
y
Domh = {(x, y) ∈ Rn : y 6= 0, x − y > 0, x2 − 1 ≥ 0}
La gráfica de una función f : Rn → Rm es el siguiente conjunto de puntos de Rn+m
{(x1 , x2 , ..., xn , f(x1 , x2 ,..., xn )) ∈ Rn+m : (x1 , x2 , ..., xn ) ∈ Domf }
Casos donde puede visualizarse la gráfica:
• Una función real de variable real f : R → R. En este caso la gráfica es una curva en R2 , que
está formada por todos los puntos de la forma (x, f (x)), donde x recorre el dominio de f . Ésta
es la situación que hemos analizado en el Tema 8 de la asignatura.
• Una función real de dos variables f :...