Limites Matemàticos

Limites matemáticos

* Definición de límite:

La línea que separa dos territorios o terrenos se conoce como límite. Este término también se utiliza para nombrar a una limitación o restricción, al extremo que puede alcanzar lo físico y al extremo a que llega un determinado tiempo.

* Definición de límite matemático:
En matemática, el límite es un concepto que describe la tendencia de unasucesión o una función, a medida que los parámetros de esa sucesión o función se acercan a determinado valor. En cálculo (especialmente en análisis real y matemático) este concepto se utiliza para definir los conceptos fundamentales de convergencia, continuidad, derivación, integración, entre otros.
El concepto se puede generalizar a otros espacios topológicos, como pueden ser las redestopológicas; de la misma manera, es definido y utilizado en otras ramas de la matemática, como puede ser la teoría de categorías.
Para fórmulas, el límite se utiliza usualmente de forma abreviada mediante lim como en lim(an) = a o se representa mediante la flecha (→) como en an → a.
* Limites matemáticos:
Entre los diferentes limites matemáticos existentes, se pueden mencionar, los siguientes:
- Límitede una sucesión:
Es uno de los conceptos más antiguos del análisis matemático. El mismo da una definición rigurosa a la idea de una sucesión que se va aproximando hacia un punto llamado límite. Si una sucesión tiene límite, se dice que es una sucesión convergente, y que la sucesión converge o tiende al límite. En caso contrario, la sucesión es divergente.
La definición significa queeventualmente todos los elementos de la sucesión se aproximan tanto como queramos al valor límite. La condición que impone que los elementos se encuentren arbitrariamente cercanos a los elementos subsiguientes no implica, en general, que la sucesión tenga un límite.
Qué se entiende por próximo da lugar a distintas definiciones de límite dependiendo del conjunto donde se ha definido la sucesión.
- Límite deuna sucesión de números reales:

1- Definición formal:

Una sucesión [pic]tal que [pic]tiene límite [pic], cuando [pic]tiende a [pic], si para todo valor [pic]por pequeño que sea, hay un valor [pic]a partir del cual si [pic]tenemos que la distancia de [pic]a [pic]es menor que [pic], es decir:
[pic].

2- Notación:

[pic]o bien [pic]
o también
[pic]
o simplemente
[pic]

3- Ejemplos:• La sucesión 1/1, 1/2, 1/3, 1/4, ... converge al límite 0.
• La sucesión 1, -1, 1, -1, 1, ... es oscilante.
• La sucesión 1/2, 1/2 + 1/4, 1/2 + 1/4 + 1/8, 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16, ... converge al límite 1.
• Si a es un número real con valor absoluto |a| < 1, entonces la sucesión an posee límite 0. Si 0 < a ≤ 1, entonces la sucesión a1/n posee límite 1.
• [pic]
•[pic]
• [pic]

4- Propiedades:

• Si una sucesión [pic]tiene límite positivo, existe un término a partir del cual todos los términos de la sucesión son positivos.
• Si una sucesión [pic]tiene límite negativo, existe un término a partir del cual los términos de la sucesión son negativos.
• Si una sucesión [pic]converge a cero, no se puede asegurar nada acerca del signo de cadauno de los términos de la sucesión.
• Si una sucesion [pic]tiende a menos infinito y [pic]entonces [pic]tiende a 0.
- Límite de una sucesión compleja:
Se dice que la sucesión converge hacia un complejo [pic]si y solo si
[pic]
Nótese que es la misma definición que para [pic], con modulo en lugar del valor absoluto.
Se puede escribir
[pic]o más simplemente, si no hay ambigüedad[pic]
Las sucesiones complejas convergentes poseen las mismas propiedades que las sucesiones reales, excepto las de relación de orden: el límite es único, una sucesión convergente tiene modulo acotado, toda sucesión de Cauchy converge (en efecto, [pic]es también completo).
- Ejemplos:
• Sucesiones en [pic]ó [pic]
• Sucesiones en el espacio [pic]
• Sucesiones en el espacio...