Limites Trigonometricos

EJERCICIOS DE DERIVADAS

1.- hallar la derivada enésima de la siguiente función:

f (x ) =

10

( x − 5) 2

Solución:
f (x ) =

10

−2
= 10(x − 5)
( x − 5)
2

f ′( x ) = 10(1)(−2)( x − 5)

−3

f ′′( x ) = −10(2)(− 3)( x − 5)

−4

=

− 10(2)( x − 5)

−3

= 10(2)(3)( x − 5)

− 10 × 2!( x − 5)

−3

=

−4

=

10 × 3!( x − 5) −4

f ′′′( x ) =10(2)(3)(−4)( x − 5) −5 = − 10(2)(3)(4)( x − 5)−5 = − 10 × 4!( x − 5)−5
f n ( x ) = (−1) n ×10 × (n + 1)!( x − 5)

− n−2

RPTA:

f n (x) = (−1)n ×10× (n +1)!(x − 5)

− n−

2.- Si la siguiente ecuación:x2 − y2 = a2
Con “a” constante, define implícitamente la función
probar que:

a2
y ′′ = − 3
y

y = f (x) ,

Solución:

x2 − y2 = a2
Derivando:

2 x − 2 y. y ′ = 0

y′ =

x
y*Se reemplaza en cada y ′ :

y ′′ =

1( y ) − y ′.x
y2

y2 − x2
x
y − ( x)
y
y
y′′ =
=
y2
y2
RPTA: Comprobado:

y −x
y3
2

=

2

=

a2
− 3
y

a2
y ′′ = − 3
y

3.-Si se cumple que:

y = 2u + 3

t = x2 − 4
Hallar:

dy
dx

, cuando x = 1

SOLUCIÓN:

dy dy du dt
=
×
×
*Regla de la cadena:
dx du dt dx

2t + 3
u=
,
t −1

,

(2u + 3)′⎡ 2(t − 1) − (2t + 3) × 1⎤
×⎢
⎥.(2x)
(t − 1) 2
2 2u + 3 ⎣
⎦

⎡ −8 ⎤
1
( 2 x)
×⎢
2⎥
2u + 3 ⎣ (t − 1) ⎦

⎡ 2t − 2 − 2t − 6 ⎤
2
×⎢
⎥ (2 x)
2
2 2u + 3 ⎣ (t − 1)
⎦

Reemplazamos:*Cuando x = 1 , tenemos que t = -3 , e
⎡ −8 ⎤
1
(2 x) = oor lo tanto
×⎢
2⎥
2u + 3 ⎣ (t − 1) ⎦

u=¾

⎡ −8 ⎤
2
.⎢
( 2) = −
2 ⎥
3
2(3 / 4) + 3 ⎣ (−3 − 1) ⎦
1

RPTA:

2
3

−

4.-Probar que la recta tangente a la elipse

b 2 x 2 + a 2 y 2 = a 2 b 2 en el punto (x ; y ) esta dada por:
1

1

b 2 x1 x + a 2 y1 y = a 2 b 2
SOLUCION:
Derivemos la ecuación implícitamenteb 2 x 2 + a 2 y 2 = a 2b 2
2b x + 2a y. y′ = 0
2

2

b 2 x1
pendiente : 2
a y1
*Aplicando punto-pendiente:

− 2b 2 x
y′ =
2a 2 . y

y − y1 = −

b.x1
( x − x1 )
2
a . y1

(a...