Limites Y Continuidad

Funciones de varias variables: l´ ımites y Continuidad Problemas de C´lculo de I.T.I. a
1. Describe el dominio de los siguientes campos escalares: a) f (x, y) = d) f (x, y) = xy 2 + y2 x x x2 +y 2 −9b) f (x, y, z) = e) f (x, y, z) = h) f (x, y) = ex/y k) f (x, y) = x+y x−y x+y+z x2 +y 2 +z 2 sen(yz) 4−x2 −y 2 −z 2 c) f (x, y) = x2 +y 2 −9 x

f) f (x, y) = arcsen(x+y) i) f (x, y) = ln(4 − xy) l)f (x, y) = arccos y x

g) f (x, y) = x2 + y 2 j) f (x, y) = 4 − x2 − y 2

2. Realiza la composici´n de las siguientes funciones: o √ a) f (x, y) = 16 − 4x2 − y 2 y g(x) = x b) f (x, y, z) = (2x, x +y, x + z), g(x, y, z) = (x + y, y + z) y h(x, y) = x + y 3. Describe las curvas o superficies de nivel, para los siguientes campos: a) f (x, y) = 25 − x2 − y 2 d) f (x, y) = xy b) f (x, y) = 2x − y + 5e) f (x, y) = x2 + y 2 c) f (x, y, z) = 2x − 3y + 4z f) f (x, y, z) = x2 + y 2 + z 2

4. Calcula, si existen, los siguientes l´ ımites: a) d) g) j) m) 6x − 2y (x,y)→(1,3) 9x2 − y 2 lim y(x−1)3(x,y)→(1,−2) (x−1)2 +(y+2)2 lim xy 3 (x,y)→(0,0) x2 + y 6 lim x3 (x,y)→(0,0) x2 + y 2 lim x2 − y 2 (x,y)→(0,0) x2 + y 2 lim b) e) h) k) n) (x3 −1)(y 4 −1) (x,y)→(1,1) (x−1)(y 2 −1) lim
(x,y)→(0,0)

c) f) i) l)o)

(x,y)→(1,1)

lim

x2 − 1 y−1 + 2 x−1 y −1 x2 + y 2 x2 + y 2 + 1 − 1

lim

(x2 +y 2 ) sen

1 xy

(x,y)→(0,0)

lim

2x2 y (x,y)→(0,0) x4 + y 2 lim x3 y (x,y)→(0,0) x2 + y 2 lim y2 (x,y)→(0,0) x + y2 lim

xy (x,y)→(0,0) |xy| lim lim
(x,y)→(0,0)

x sen

1 1 + y sen y x

(x,y)→(1,1)

lim

log |1 + x2 y 2 |

5. Estudia si es posible extender las siguientes funciones por continuidad a puntos que nosean de su dominio. a) f (x, y) = xy + 1 x2 − y 2x + y 2 x2 + y 2 b) f (x, y) = x3 x2 + y 2 1− x2 + y 2

c) f (x, y) =

d) f (x, y) =

1 − x2 − y 2

Test funciones de varias variables: l´ ımites ycontinuidad Problemas de C´lculo de I.T.I. a
1. El dominio de la funci´n f (x, y) = o e) IR2 g) IR2 − {(x, y) ∈ IR2 : 2x ≤ −y} 4x2 + y 2 es f) {(x, y) ∈ IR2 : y ≥ −2x} h) {(x, y) ∈ IR2 : 2x ≥ y}...