Limites y continuidad

TEMA 2:
LIMITES Y CONTINUIDAD. [pic]

POR

SAÚL TAVARES LEDEZMA

MAESTRA: ELDA NOELIA ROBLES TORRES

INGENIERO INDUSTRIAL

1° SEMESTRE
3/SEPTIEMBRE/2010
[pic]
[pic]ÍNDICE
ÍNDICE……………………………………………………………….2
INTRODUCCIÓN…………………………………………………...3
2. LÍMITES Y CONTUNUIDAD…………………………………...4
2.1.- CONCEPTO LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN
PUNTO. INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA…………………..4
2.2.-EXISTENCIA DEL LÍMITE DE UNA FUNCIÓN. LÍMITES
DE LAS FUNCIONES CONSTANTE E IDENTIDAD Y
DEMOSTRACIÓN DE SU EXISTENCIA. ENUNCIADOS DE
TEOREMAS SOBRE LÍMITES. FORMA DETERMINADA E
INDETERMINADA. CÁLCULO DE LÍMITES………………….6
TEOREMAS…………………………………………………………7
2.3.- DEFINICIÓN DE LIMITE DE UNA FUNCIÓN
CUANDO LA VARIABLE INDEPENDIENTE TIENDE AL
INFINITO.CÁLCULO DE LÍMITES DE FUNCIONES
RACIONALESCUANDO LA VARIABLE TIENDE
AL INFINITO………………………………………………………10
CONCLUCIÓN……………………………………………………..14
BIBLIOGRAFÍA…………………………………………………....15

INTRODUCCIÓN
"Cuando empezó a desarrollarse el Cálculo, la mayor parte de las funciones con las que se trabajaba eran continuas, y por lo tanto no se sentía la necesidad de penetrar en el significado exacto de continuidad. Fue ya entrado el siglo XVIII que sepresentaron algunas funciones discontinuas en conexión con distintas clases de problemas físicos. En particular, los trabajos de J.B.J. Fourier (1758-1830) sobre la Teoría del calor, obligaron a los matemáticos de principios de siglo XIX a examinar cuidadosamente el significado de los conceptos de función y continuidad.
A pesar de que el significado de la palabra "continuo" parece intuitivamenteclara a todo el mundo, no es fácil imaginarse cuál sería una buena definición de esta idea. Un diccionario popular da la siguiente definición de continuidad:
Continuidad: Cualidad o condición de ser continuo.
Continuo: Que tiene continuidad entre las partes”
“El límite de una función está íntimamente unido a su representación gráfica y a la interpretación de la misma debido a que lo que nosindica es el comportamiento o tendencia de la gráfica. Por esta razón, el concepto de límite es básico en el Análisis Matemático.
Las primeras definiciones de límite aparecen en la obra de Jonh Wallis (1616-1703) y en ella se utiliza por primera vez el símbolo infinito. Con posterioridad Jean Le Rond D'Alembert perfeccionó la definición de límite. Fue Ausgustin Cauchy (1789-1857) quien dio ladefinición de límite que utilizamos hoy en día.”
Ángela Núñez Castaín
TEMA 2.- LIMITES Y CONTINUIDAD.
2.1.- CONCEPTO LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO. INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA.
[pic][pic]

[pic][pic]
[pic][1]
2.2.- EXISTENCIA DEL LÍMITE DE UNA FUNCIÓN. LÍMITES DE LAS FUNCIONES CONSTANTE E IDENTIDAD Y DEMOSTRACIÓN DE SU EXISTENCIA. ENUNCIADOS DE TEOREMAS SOBRE LÍMITES. FORMA DETERMINADA EINDETERMINADA. CÁLCULO DE LÍMITES.
[pic][2]

Teoremas

Unicidad del límite de una función

Si una función tiene límite es único.

H) Existe limx->af(x)=b

T) b es único

Demostración

La demostración se hace por reducción al absurdo.
Suponemos que f(x) tiene dos límites distintos b y c, cuando x tiende a a.
Suponemos que b > c.
limx->af(x)=b => (por def. de límite) para todo Eb,εexiste un E*a,δ1 / para todo x perteneciente al E*a,δ1 f(x) pertenece al Eb,ε.
limx->af(x)=c => (por def. de límite) para todo Ec,ε existe un E*a,δ2 / para todo x perteneciente al E*a,δ2 f(x) pertenece al Ec,ε.
Consideremos un ε tal que Eb,ε ∩ Ec,ε = Ø.
[pic]

Queremos que c+ε < b-ε => ε < (b - c)/2
Sea δ = min {δ1,δ2}
Para todo x perteneciente al E*a,δ se cumple

• f(x) pertenece a Eb,ε• f(x) pertenece a Ec,ε

Absurdo, pues f(x) no puede pertenecer a dos entornos disjuntos.
Absurdo de suponer b ≠ c.
Por lo tanto b = c.

Conservación del signo

Para valores de x suficientemente próximos al valor de tendencia, la función tiene el mismo signo que su límite.

H) limx->af(x)=b > 0

T) Existe δ > 0 / para todo x perteneciente al E*a,δ f(x) > 0 Demostración:...