Limites y continuidad

3.1 LIMITES DE UNA SUCESION

El límite de una sucesión es uno de los conceptos más antiguos del análisis matemático. El mismo da una definición rigurosa a la idea de una sucesión que se vaaproximando hacia un punto llamado límite. Si una sucesión tiene límite, se dice que es una sucesión convergente, y que la sucesión converge o tiende al límite. En caso contrario, la sucesión es divergente.La definición significa que eventualmente todos los elementos de la sucesión se aproximan tanto como queramos al valor límite. La condición que impone que los elementos se encuentren arbitrariamentecercanos a los elementos subsiguientes no implica, en general, que la sucesión tenga un límite.
SUCESIÓN DE CAUCHY:
En matemáticas, una sucesión de Cauchy es una sucesión tal que la distancia entredos términos se va reduciendo a medida que se avanza en la sucesión. Se llama así en honor al matemático francés Agustín Louis Cauchy (1805). El interés de las sucesiones de Cauchy radica en que en unespacio métrico completo todas las sucesiones de Cauchy son convergentes, siendo en general más fácil verificar que una sucesión es de Cauchy que obtener el punto de convergencia.
3.2 LIMITES DE UNAFUNCION DE VARIABLE REAL

Se llama función real de variable real a toda función definida de un subconjunto D de los números reales, en el conjunto R de los números reales, tal que a cada elemento xde D le corresponde uno y sólo un elemento y de R:

Para que una función quede correctamente definida es necesario determinar:
• El conjunto inicial o dominio de la función.
• El conjunto final oimagen de la función.
• La regla por la cual se asigna a cada elemento del conjunto origen un solo elemento del conjunto imagen.
Así, por ejemplo, la función definida por:

asigna a cada númeroreal su cuadrado.
Tiene por conjunto origen o campo de existencia todos los números reales, pues dado cualquier número real x, siempre es posible calcular su cuadrado, siendo el resultado otro número...