Limites y derivados

ÍNDICE
 Concepto de límite
 Propiedades de los límites
 Definición de continuidad
 Tipos de continuidad
 Concepto de derivada
 Tabla de derivadas
 Crecimiento y decrecimiento
 Máximos y mínimos
 Concavidad y convexidad
 Puntos de inflexión
 Representación gráfica de funciones
Idea de límite de una función en un punto : Sea la función y = x2 . Si x tiende a 2 aqué valor se aproxima y :
x ! 2- | 1'8 | 1'9 | 1'99 | 1'999 |
y ! | 3'24 | 3'61 | 3'9601 | 3'996001 |

x ! 2+ | 2'2 | 2'1 | 2'01 | 2'001 |
y ! | 4'84 | 4'41 | 4'0401 | 4'004001 |
Luego cuando x se aproxima a 2 , tanto por la derecha como por la izquierda los valores de y se acercan cada vez más a 4 . Esta idea se suele expresar así :

(límite lateral por la izquierda)

(límite lateralpor la derecha)
Cuando el límite por la derecha y por la izquierda existen y son iguales se dice que existe límite en ese punto y es :

Si los límites laterales en x = x0 son distintos entonces f no tiene límite en ese punto .
Definición intuitiva de límite : dada una función f , el límite de f cuando x tiende a x0 es el valor al que se aproximan las imágenes mediante f de los puntos x cuandoéstos se aproximan al valor de x0 .
Definición matemática de límite : una función f tiene límite l cuando x tiende a x0 si es posible conseguir que f(x) esté tan próximo a l como se quiera al tomar x suficientemente próximo a x0 ( tanto como sea necesario ) pero siendo x
x0 .
Decir que "f(x) se aproxima a l tanto como se quiera" equivale a decir que la distancia de f(x) a l es menor que cualquiervalor por pequeño que este sea , es decir /f(x)- l/<.
Decir que "la variable x toma valores suficientemente próximos a x0 " equivale a decir que dependiendo de la proximidad de f(x) a l , así deberá estar más o menos próximo x a x0 para que se cumpla la hipótesis /f(x)- l/< , es decir , debe de existir un tal que /x-x0/< .
Por lo tanto se dice que una función f(x) tiene límite lcuando x tiende a x0 , si para cualquiera que sea el número se puede encontrar otro número tal que
para todo x que verifique
Utilizando la notación matemática :

Observemos que la función no tiene por qué estar definida en x0 para tener límite en ese punto , incluso aunque esté definida no es necesario que sea igual al límite .
No obstante si f(x) está definida en x0 y f(x0) = l entonces sedice que la función es continua en x0 .
Ejemplo : Veamos que
Tomamos =0'1 , es decir , la distancia entre f(x) y el límite 6 es menor que 0'1 ,
/f(x) - 6/<0'1 por lo tanto /2x-6/<0'1 , -0'1<2x-6<0'1 , 5'9<2x<6'1 , 2'95<x<3'05 ,
3-0'05<x<3+0'05 , /x-3/<0'05 luego debemos tomar = 0'05
Podríamos tomar un todo lo pequeño que nosotros queramos , y siempreencontraríamos un .
En general : /f(x) - 6/< por lo tanto /2x-6/< , -<2x-6< , 6-<2x<6+ ,
3-/2<x<3+/2 , /x-3/</2 luego debemos tomar = /2 , en general depende del valor de que tomemos .
Límites infinitos en un punto (asíntota vertical): Se dice que
si para cualquier k positivo se puede encontrar un tal que f(x)>k cuando /x-x0/< .
Se dice que
si paracualquier k positivo se puede encontrar un tal que f(x)<-k cuando /x-x0/< .
Límites en el infinito (asíntota horizontal): Se dice que
si para cualquier se puede encontrar un k positivo tal que /f(x)-l/< para todo x>k .
Se dice que
si para cualquier se puede encontrar un k positivo tal que /f(x)-l/< para todo x<-k .
Límite infinito en el infinito : Se dice que
si paracualquier k positivo se puede encontrar un H positivo tal que f(x)>k para todo x>H .
Se dice que
si para cualquier k positivo se puede encontrar un H positivo tal que f(x)<-k para todo x>H .
Se dice que
si para cualquier k positivo se puede encontrar un H positivo tal que f(x)>k para todo x<-H .
Se dice que
si para cualquier k positivo se puede encontrar un H positivo...