limites y sus propiedades

LÍMITES Y SUS PROPIEDADES
ESCUELA:

Ciencias de la Computación

NOMBRES

Ing. Diana A. Torres G.

v
BIMESTRE

I Bimestre

FECHA:

OCTUBRE 2009 – FEBRERO 2010
1

CÁLCULO DE LÍMITES
POR MEDIO DE LOS
MÉTODOS GRÁFICO Y
NÚMERICO

INTRODUCCIÓN A LOS LÍMITES
Dibujar la Gráfica de la función f dada por:

x3  1
f ( x) 
, x 1
x 1

 Con x 1
dibujar la gráfica con latabla de valores.
 Con x = 1 no lo podemos hacer.
 Para
conseguir
una
idea
del
comportamiento de la gráfica se usará
valores de x que se aproximen a 1 por la
izquierda y por la derecha.
3

x se aproxima a 1 por la
izquierda

x

x se aproxima a 1 por la
derecha

0.75 0.9 0.99 0.999 1 1.001 1.01 1.1

f(x) 2.31 2.71 2.99 2.97

f(x) se aproxima a 3

1.25

? 3.003 3.033.31 3.81

f(x) se aproxima a 3

4

lím f ( x) 3
x 1

 Si f(x) se acerca arbitrariamente a un
número L, cuando x se aproxima a c por la
izquierda y por la derecha entonces:

lim f ( x) L
x c

5

 Ejemplo: Estimación numérica de un
límite. Evaluar la función

f ( x)  x

x 1  1

en varios puntos cercanos a x = 0 y usar el
resultado para estimar el límite.

7x se aproxima a 0 por la
izquierda

x se aproxima a 0 por la
derecha

x

-0.01

-0.001

-0.0001

0

0.0001

f(x)

1.9949

1.9950

1.9995

?

2.00005

f(x) se aproxima a 2

0.001

0.01

2.0005 2.00
499

f(x) se aproxima a 2

8

El límite de f(x) cuando x se aproxima
a 2 es 0
f no es
definida
en x = 0

f ( x)  x

lim f ( x) 2
x 0

9

x 1 1

LÍMITES QUE NO EXISTEN
Ejemplo: Comportamiento diferente por
la derecha y por la izquierda.
Demostrar que el límite no existe:

lim 
x 0

x
x

Solución

x
x

1, x  0

x
x

 1, x  0
10

• Independientemente
de
cuanto
se
aproxime x a 0, existirán valores tanto
positivos como negativos que darán
f(x) = 1 y f(x)=-1

( ,0)

(  ,0)
Los valoresnegativos de x
dan como
resultado |x|/x =
-1.

Los valores
positivos de x dan
como resultado |
x|/x = 1.

Límite no
existe

11

LÍMITES QUE NO EXISTEN
Ejemplo: Comportamiento no acotado.
1
Analizar la existencia del límite:

lim 
x 0

x

2

Solución: Si jugamos con valores nos podemos
dar cuenta que si x se aproxima a 0, f(x) crece
notablemente:
1
1
0 x 
 f ( x ) 2  100
10
x
1
1
0 x 
 f ( x )  2  1000000
1000
x 12

f(x) no se aproxima a ningún
número real L cuando se aproxima
a 0, por tanto se concluye que el
límite no existe.

13

LÍMITES QUE NO EXISTEN
Ejemplo: Comportamiento oscilante.
Analizar la existencia del límite: lim sen 1
x 0

x

x

2/∏ 2/3∏ 2/5∏ 2/7∏ 2/9∏ 2/11∏

Sen (1/x)

1

-1

1

-1

1Por tanto el límite no existe

14

-1

Conclusiones:
1. f(x) se aproxima a números diferente por
la derecha de c que por la izquierda.
2. f(x) aumenta o disminuye sin límite a
medida que x se aproxima a c.
3. f(x) oscila entre dos valores fijos a
medida que x se aproxima a c.

15

DEFINICIÓN FORMAL DEL LÍMITE
Sea f una función definida en un intervalo
abierto que contiene a c y Lun número
real:

lim f ( x) L

x c
Significa que para todo ε>0 existe uno
δ>0 tal que si:

0  x  c   , entonces f ( x)  L  
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CÁLCULO ANALÍTICO DE
LÍMITES

PROPIEDADES DE UN LÍMITE
Teorema 1.1: Límites Básicos: sin b y c
son números reales y n un entero positivo.

lim x c

lim b b

x c

x c

n

lim x c

n

x c

18

Ejemplo: Evaluación deLímites Básicos:

lim 3 3

lim x  4

x 2

x  4
2

2

lim x 2 4
x 2

19

Teorema 1.2:Propiedades de los Límites:
sin b y c son números reales y n un entero
positivo, f y g funciones con los límites
siguientes:

lim g ( x) K

lim f ( x) L

x c

x c





lim b f ( x) bL

1. Múltiplo Escalar: x  c
2. Suma o Diferencia
3. Producto:

lim f ( x)...