Limites sin propiedades

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INTRODUCCIÓN A LOS LÍMITES
Dibujar la Gráfica de la función f dada por:
Con x 1 dibujar la gráfica con la tabla de valores.
Con x = 1 no lo podemos hacer.
Para conseguir una idea del comportamiento de la gráfica se usará valores de x que se aproximen a 1 por la izquierda y por la derecha.
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x se aproxima a 1 por la
derecha
x se aproxima a 1 por la
izquierda
f(x) se aproxima a 3
f(x)se aproxima a 3
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Si f(x) se acerca arbitrariamente a un número L, cuando x se aproxima a c por la izquierda y por la derecha entonces:
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Ejemplo: Estimación numérica de un límite. Evaluar la función
en varios puntos cercanos a x = 0 y usar el resultado para estimar el límite.
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x se aproxima a 0 por la
derecha
x se aproxima a 0 por la
izquierda
f(x) se aproxima a 2
f(x) se aproxima a 29
El límite de f(x) cuando x se aproxima a 2 es 0
f no es definida en x = 0
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LÍMITES QUE NO EXISTEN
Ejemplo: Comportamiento diferente por la derecha y por la izquierda. Demostrar que el límite no existe:
Solución
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Independientemente de cuanto se aproxime x a 0, existirán valores tanto positivos como negativos que darán
f(x) = 1 y f(x)=-1
Los valores negativos de x dan comoresultado |x|/x = -1.
Los valores positivos de x dan como resultado |x|/x = 1.
Límite no existe
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LÍMITES QUE NO EXISTEN
Ejemplo: Comportamiento no acotado.
Analizar la existencia del límite:
Solución: Si jugamos con valores nos podemos dar cuenta que si x se aproxima a 0, f(x) crece notablemente:
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f(x) no se aproxima a ningún número real L cuando se aproxima a 0, por tanto se concluye que ellímite no existe.
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LÍMITES QUE NO EXISTEN
Ejemplo: Comportamiento oscilante.
Analizar la existencia del límite:
Por tanto el límite no existe
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Conclusiones:
f(x) se aproxima a números diferente por la derecha de c que por la izquierda.
f(x) aumenta o disminuye sin límite a medida que x se aproxima a c.
f(x) oscila entre dos valores fijos a medida que x se aproxima a c.
16DEFINICIÓN FORMAL DEL LÍMITE
Sea f una función definida en un intervalo abierto que contiene a c y L un número real:
Significa que para todo ε>0 existe uno δ>0 tal que si:
CÁLCULO ANALÍTICO DE LÍMITES
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PROPIEDADES DE UN LÍMITE
Teorema 1.1: Límites Básicos: sin b y c son números reales y n un entero positivo.
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Ejemplo: Evaluación de Límites Básicos:
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Teorema 1.2:Propiedades de losLímites: sin b y c son números reales y n un entero positivo, f y g funciones con los límites siguientes:
Múltiplo Escalar:
Suma o Diferencia
Producto:
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Cociente:
Potencias:
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Ejemplo: Límite de un Polinomio
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Teorema 1.3:Límites de las funciones polinómicas y racionales: si p es una función polinómica y c un número real:
Si r es una función racional dada por r(x) = p(x)/q(x) y c unnúmero real tal que q(c)≠0 tenemos
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Ejemplo: Límite de una Función racional
Como el denominador no es 0 cuando x=1
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Teorema 1.4:Límite de una Función radical
Si n es un entero positivo:
Para toda c si n es impar
c > si n es par
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Teorema 1.5 Límite de una Función Compuesta
Si f y g son funciones tales que:
y
Entonces:
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Teorema 1.6. Límites de funciones trigonométricas
Sea c unnúmero real:
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Ejemplos
CONTINUIDAD DE LÍMITES LATERALES O UNILATERALES
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Definición de Continuidad
Continuidad en un Punto: una función f es continua en c si se satisfacen:
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Continuidad en un Intervalo Abierto: si es continua en cada punto del Intervalo.
Una función continua en la recta de los números reales enteros (-∞,∞) es continua en todas partes.
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Ejemplos: Analizar lacontinuidad de cada función.
Aplicando el Teorema de las funciones polinómicas se concluye que f es continua en todos los números reales excepto x = 0, por que 1/0 = indefinido
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Ejemplos: Analizar la continuidad de cada función.
Aplicando el Teorema de las funciones polinómicas se concluye que f es continua en todos los números reales excepto x = 0, por que 1/0 = indefinido
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Ejemplos:...
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