Limites

TEOREMAS DE LÍMITES

Sean f y g funciones con límites en c, n un número entero y k una constante. Se tiene entonces que:
El límite de una constante es la constante:

El límite de una constante por una función es igual a la constante por el límite de la función:
El límite de una suma es igual a la suma de los límites:
El límite de un producto es igual al producto de los límites:
Ellímite de un cociente es igual al cociente de los límites, siempre y cuando el denominador evaluado en el límite no sea cero,
siempre y cuando
El límite de la potencia de una función es igual a la potencia enésima del límite de la función:
El límite de un radical enésimo de una función es igual al radical enésimo del límite de la función:
Teorema de Bolzano
Si f (x) es una función continua enel intervalo cerrado [a, b].
Si f (a) y f (b) tienen signos opuestos.
Entonces existe al menos un punto c perteneciente al intervalo abierto (a, b) tal que:
f (c)=0
Teorema de los Valores Intermedios o Darboux
Si f (x) es una función continua en el intervalo cerrado [a, b].
Si k es un número comprendido entre f (a) y f (b).
Entonces existe al menos un punto c perteneciente alintervalo cerrado [a, b] tal que:
f (c)=k
O También:
Si f (x) es una función continua en el intervalo cerrado [a, b].
Entonces f (x) toma todos los valores comprendidos entre f (a) y f (b).
Teorema de Bolzano – Weierstrass
Si f (x) es una función continua en el intervalo cerrado [a, b] entonces.
Existe al menos un punto c del intervalo cerrado [a, b] donde f alcanza su valor máximo, esdecir:
f (c) ≥ f (x) para todo x de [a, b]
Existe al menos un punto d del intervalo cerrado [a, b] donde f alcanza su valor mínimo, es decir:
f (d) ≤ f (x) para todo x de [a, b]
Teorema de Rolle
Si f (x) es una función continua en el intervalo cerrado [a, b].
Si f (x) es una función derivable en el intervalo abierto (a, b).
Si f (a)=f (b).
Entonces existe al menos un punto cperteneciente al intervalo abierto (a, b) tal que:
f'(c)=0
Teorema de Lagrange o del Valor Medio o de los Incrementos Finitos
Si f(x) es una función continua en el intervalo cerrado [a, b].
Si f(x) es una función derivable en el intervalo abierto (a, b).
Entonces existe al menos un punto c perteneciente al intervalo abierto (a, b) tal que:
f'c=fb-f(a)b-a
Teorema de Cauchy
Si f(x) y g(x) sonfunciones continuas en el intervalo cerrado [a, b].
Si f(x) y g(x) son funciones derivables en el intervalo abierto (a, b).
Entonces existe al menos un punto c perteneciente al intervalo abierto (a, b) tal que:
f'(c)g'(c)=fb-f(a)g(b)-g(a)
Regla de L’Hôpital
Si el límite L=limf(x)g(x) es indeterminado del tipo 00 o bien ∞∞ entonces dicho límite se puede hallar como: L=limf'(x)g'(x)
Teorema 1:límite de una función constante.
Sea f(x)=k(constante), entonces:
Lim f(x)=Limk=k
x— A.....x— A
Teorema 2: límite de f(x)=x cuando x— A
Sea f(x)=x, entonces
Lim f(x)=Limx=A
x— A.....x— A
Teorema 3: límite de una función multiplicada por una constante
Sea k una constante y f(x) una función dada, entonces:
Lim kf(x)=kLimf(x)=A
x— A.....x— A
Teorema 4: límite de una suma, resta,producto y cociente de funciones
Supongamos que.. Lim f(x)=L1 y Lim g(x)=L2
x— A.... ........x— A
Entonces:
Lim (f(x)+g(x))=L1 +L2
x— A...
Lim (f(x)-g(x))=L1-L2
X— A.
........ .Lim (f(x)*g(x))=L1*L2
..x— A.
..........Lim (f(x)÷g(x))=L1÷L2
...x— A
Teorema 5: límite de una potencia
Sea n un número entero positivo, entonces:
Lim x^n=a^n
x— A

Teorema 6: límite de un polinomioSea f(x) una función polinominal, entonces:
Lim f(x)=f(A)
x— A
Teorema 7: límite de una función racional
Sea f(x)= p(x)÷q(x) un cociente de polinomios, entonces:
Lim f(x)=p(A)÷q(A) (si q(A) no es cero)
x— A
Teorema 8: límite de una función que contiene un radical
Sea A 0 y n es cualquier entero positivo, o bien, si A 0 y n es un entero positivo impar, entonces:
Lim x^1÷n=A^1÷n
x—...