Limites

Limites
El concepto de límite es la base fundamental con la que se construye el cálculo infinitesimal (diferencial e integral). Informalmente hablando se dice que el límite es el valor al quetiende una función cuando la variable independiente tiende a un número determinado o al infinito.
Límites de funciones algebraicas
Sea una función y sea a un punto que pertenece al dominio de la funcióno que está en la frontera de su dominio. Se dice que el límite de cuando x tiende a a es igual a L y se escribe:

cuando el límite por la izquierda y el límite por la derecha son iguales a L. Eneste caso ya no se emplea ningún signo como exponente de a. En otras palabras:



Significa

a) 
y
b) .

Ejemplo 1
Consideremos la función cuyo dominio esya que para poder calcularla se requiere que . Aparece representada a la izquierda de este texto y consiste en una recta de pendiente que corta el eje y en el punto , lo que puede comprobarsefácilmente factorizando el numerador y simplificando luego la fracción:

Ahora bien, como acabamos de decir, la función no está definida en . Aun así, podemos establecer el límite de cuando .
Si seacerca una flecha por la izquierda hacía , podrá ver que la otra flecha se acerca a 2. Por lo tanto:

Por otra parte, si se acerca una flecha por la derecha hacía , podrá ver que la otra flechatambién se acerca a 2. Así pues:

Como los límites por la izquierda y por la derecha existen y además son iguales, se concluye entonces que:

Ejemplo 2

Límites por definición
Ejemplo1
Lim (x→2)(x+3)
Sabemos que el límite vale 5. Pero, ¿qué quiere decir eso? Que si x está muy cerca de 2, entonces f(x) = x+3 estará tan cerca de 5 como se quiera. Formalmente,
Para todo ε>0, existe δ tal quesi 0 < |x-2| < δ => |f(x)-5| < ε
(por más pequeño que sea ε, siempre encontraremos un entorno de 2 y en ese entorno f(x) no diferirá de 5 en más que ε)
Para saber que 5 es el límite, hay que...