limites

Límites (definición formal)
Primero lee la introducción a los límites
Acercándose ...
A veces algo no se puede calcular directamente... ¡pero puedes saber cuál debe de ser el resultado si te vasacercando más y más! A esto lo llamamos el límite de una función.
Por ejemplo, ¿cuál es el valor de (x2-1)/(x-1) cuando x=1?
(12-1)/(1-1) = (1-1)/(1-1) = 0/0
Pero 0/0 es "indeterminado", lo quesignifica que no podemos calcular su valor. En lugar de calcular con x=1 vamos a acercarnos poco a poco:
x
(x2-1)/(x-1)
0.5
1.50000
0.9
1.90000
0.99
1.99000
0.999
1.99900
0.9999
1.999900.99999
1.99999
...
...
Vemos que cuando x se acerca a 1, (x2-1)/(x-1) se acerca a 2, así que decimos:
El límite de (x2-1)/(x-1) cuando x tiende (o se aproxima) a 1 es 2
Y con símbolos se escribe:Más formal
Pero no podemos decir que el límite es un cierto valor sólo porque parezca que vamos hacia él. Nos hace falta una definición más formal. Así que vamos a empezar por la idea general
Deespañol a matemáticas
Vamos a decirlo primero en español:
"f(x) se acerca a un límite cuando x se acerca a un valor"
Si llamamos "L" al límite, y "a" al valor al que se acerca x, podemos decir"f(x) se acerca a L cuando x se acerca a a"
 

Calculando "cerca"
A ver cuál es una manera matemática de decir "cerca" ... ¿a lo mejor restar un valor de otro?
Ejemplo 1: 4.01 - 4 = 0.01 
Ejemplo 2:3.8 - 4 = -0.2 
Hmmm... ¿cerca negativamente? Eso no tiene mucho sentido... lo que nos hace falta es "no me importa si es negativo o positivo, sólo quiero saber la distancia". La solución es usarel valor absoluto.
"Qué tan cerca" = |a-b|
Ejemplo 1: |4.01-4| = 0.01 
Ejemplo 2: |3.8-4| = 0.2 
Y si |a-b| es pequeño sabremos que está cerca, así que escribimos:
"|f(x)-L| es pequeño cuando |x-a|es pequeño"




Delta y epsilon
Pero "pequeño" es español, no "matemático".
Tenemos que elegir dos valores para ser más pequeños que ellos:

para que |x-a| sea más pequeño que él

para...