Limites





CAPITULO II:


LIMITE DE FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL

Introducción:

La teoría de límites de una función es indispensable conocer, puesto que es la base sobre la cual se dan los conceptos fundamentales del Cálculo Diferencial e Integral, por ello es importante comprender correctamente lo que es un límite para poder entender con mayor facilidad las definiciones dederivada e integral de una función.

Recomendaciones: Al estudiar el límite de una función, se debe tener en cuenta lo siguiente:
1. Cuando se trata de calcular límites, el cuál es un valor numérico, el estudiante deberá usar correctamente tanto el álgebra elemental como la trigonometría, sobre todo lo concerniente a las factorizaciones, las racionalizaciones y las identidades trigonométricas.
2.En cambio, cuando se pide demostrar la existencia del límite de una función, entonces acudiremos al análisis usando las definiciones correctamente.

Límite de una Función

Sean y funciones definidas como:



y

ox


- existe
-


y



x


-
- no existe
- Análisis de la función en :
Se observa que no existe, sin embargo elcomportamiento de esta función alrededor de 1 (en una vecindad de 1), excluyendo el punto 1, es exactamente el mismo, y podemos describirlo del siguiente modo:
Para valores de próximos al punto , con , el valor de se aproxima a ; cuando esto ocurre, se dice que 1 es el límite de , cuando tiende a 1:

- Análisis de la función en
En este caso se pude observar que , es decir si existe, sinembargo el comportamiento de la función en una vecindad de es distinto, ya que cuando nos acercamos a 0 por la derecha la función se acerca a 1, pero cuando nos acercamos por la izquierda, la función se acerca a 0, por lo tanto podemos decir que el límite de , cuando tiende a 0 no existe.

no existe

Definición.- El número “” se dice que es el límite de la función en , sí y solo sí, paratodo , existe un , tal que, , siempre que esté en el dominio de y
Simbólicamente:


Observaciones:

-) y representan números positivos pequeños que se acercan a 0, se expresa en función de .
-) Las desigualdades y representan intervalos abiertos:
i.


ii.


-) El intervalo se llama vecindad de , de centro en y radio .< I >
L

-) El intervalo se llama vecindad de , de centro en y radio .

< I >



INTERPRETACION GEOMÉTRICA DEL LÍMITE

Veamos la definición de límitegeométricamente:


y



Lx




Para efectos de los ejercicios prácticos, debemos recordar la siguiente definición:

Definición.- Sea , , se dice que es acotada sobre el conjunto , , si existe un número real tal que:...