Limites

Limites:
Sea una función definida sobre un intervalo abierto que contiene el numero , excepto cuando se defina a sí mismo:

Si para cada número
existe un número tal que:

sí

Continuidad:
Una función es continua en un número a si:

La definición matemática de continuidad corresponde al significado de la palabra continuidad en el lenguaje cotidiano. Eso quiere decir que continuidadlo tomamos como el proceso continuo sin interrupción ni cambio abrupto.
Una función continua es aquella para la cual, intuitivamente, para puntos cercanos del dominio se producen pequeñas variaciones en los valores de la función. Si la función no es continua, se dice que es discontinua. Intuitivamente una función continua es aquella cuya gráfica puede dibujarse sin levantar el lápiz del papel.Para la definición de la función continua requiere implícitamente tres cosas si es continua en :
 está definido (es decir, está en el dominio de ).
 existe (de modo que debe estar definida en un intervalo abierto que contiene a .
 .

La definición afirma que es continua en si tiende a cuando tienda a . Por lo tanto, una función continua tiene la propiedad de que un cambiopequeño en sólo produce una pequeña alteración en .De hecho, el cambio en se puede mantener tan pequeño como deseemos , restringiendo el cambio en lo necesario. Los fenómenos físicos suelen ser continuos por ejemplo, el desplazamiento o la velocidad de un vehículo varían en forma continua con el tiempo, como pasa con la estatura de una persona. Pero en realidad se presentan discontinuidades ensituaciones como las corrientes electricas. Geometricamente, una función continua en todo número en un intervalo se pueden concebir como una función cuya grafica no se rompe en esta ultimo. La grafica continua se puede trazar sin levantar la pluma del papel al trazarla. Si una función es derivable en x= a entonces es continua en x= a. Hipótesis: Existe f'(a) Tesis: f(x) es continua en x= a
 .

Unafunción es continua desde la derecha en un número si:

y es continua desde la izquierda en si

Una función es continua sobre un intervalo si es continua en todo número en el intervalo.(En un punto extremo del intervalo, entendemos que continua quiere decir continua desde la derecha o continúa desde la izquierda.)

Limites de varias variables:
Sea una función de dos variables definida en undisco abierto centrado en , excepto quizás en el punto , y sea L un número real. Entonces,
|
si para cada existe un tal que
siempre que |
Gráficamente, esta definición de límite implica que para cualquier punto en el disco de radio , el valor de esta entre y .
|

Para funciones de una sola variable, cuando dejamos que x se aproxime a a, sólo hay dos posibles direcciones deacercamiento, por la izquierda o por la derecha. Que podemos ver por aquí Límite de una función de una variable. Para funciones de dos variables, la situación no es tan sencilla, puesto que podemos dejar que (x, y) se aproxime a desde un número infinito de direcciones y de cualesquiera formas.
La definición anterior se refiere sólo a la distancia entre (x, y) y. No habla a la dirección de aproximación.Por eso, si el límite existe, entonces debe aproximarse al mismo límite, sin importar la forma en que (x, y) se aproxime a . Así pues, si podemos encontrar dos diferentes trayectorias de acercamiento a lo largo de las cuales tiene distintos límites, entonces se concluye que el límite no existe.
Si conforme a lo largo de una trayectoria y conforme a lo largo de una trayectoria, donde, entonces ellímite no existe.
Diferencial total:
Si y son incrementos de x e y, las diferenciales de las variables independientes x e y son
y
Y la diferencial total de la variable z es

* Diferenciales:
Para una función de una variable, y = f(x), definimos el diferencial dx como una variable independiente, es decir, de x puede tomar el valor de cualquier número real. El diferencial de y se...