Limites

INSTITUCIÓN EDUCATIVA
SANTA CECILIA
2012

Asignatura: Cálculo
Grado: Undécimo
Guía: Cinco
Temática: Límite de funciones
Docentes: Orlando Medina C. - Deyanira Ortiz R.

MARCO HISTÓRICO
El concepto de límite, desde sus inicios representó un reto para el desarrollo abstracto del pensamiento humano. Zenón de Elea, un filósofo griego, propuso un acertijo que es fundamental en el estudiodel cálculo: las cantidades infinitesimales.

En el acertijo conocido como Aquiles y la tortuga, Zenón se pregunta, ¿cómo puede alcanzar el rápido Aquiles a la tortuga si le concede una ventaja? Pues si Aquiles parte de un punto A y la tortuga de un punto B, cuando Aquiles llega a B, la tortuga está en otro punto C, y cuando Aquiles llega a ese punto, la tortuga ya se encuentra en el punto D.Como esta descripción puede seguirse infinitamente, Aquiles aparentemente nunca alcanzará a la tortuga. Pero en realidad puede hacerse, y ésta es la paradoja.
“Aunque implícita en el desarrollo del Cálculo de los siglos XVII y XVIII, la notación moderna del límite de una función se remonta a Bolzano quien, en 1817, introdujo las bases de la técnica épsilon-delta. Sin embargo, su trabajo no fueconocido mientras él estuvo vivo. Cauchy expuso límites en su Cours d'analyse (1821) y parece haber expresado la esencia de la idea, pero no de una manera sistemática. La primera presentación rigurosa de la técnica hecha pública fue dada por Weierstrass en los 1850 y 1860 y desde entonces se ha convertido en el método estándar para trabajar con límites.
La notación de escritura usando la abreviaturalím con la flecha debajo es debida a Hardy en su libro A Course of Pure Mathematics en 1908” (www.wikipedia.es)

¿QUE SON LOS LÍMITES?

En matemáticas, el límite es un concepto que describe la tendencia de una sucesión o una función,
a medida que los parámetros de esa sucesión o función se acercan a determinado valor.
En cálculo (especialmente en análisis real y matemático) este concepto seutiliza para definir los conceptos fundamentales de convergencia, continuidad, derivación, integración, entre otros.

Se dice que una función Y=f(x) tiende al límite L cuando x tiende al valor a si el valor absoluto de la diferencia f(x)-L puede hacerse tan pequeño como se quiera en las proximidades del punto x=a (sin interesarnos lo que ocurre precisamente en el punto x=a)

El concepto delímite matemático es un concepto fácil de entender intuitivamente, aunque difícil de definir de manera formal.

La notación habitual suele ser la siguiente:

y expresa que "el límite de la función f(x) cuando x tiende al punto es 1". Pero, ¿Qué significa esto intuitivamente? Pues que cuanto más y más nos acercamos a el valor que toma la función se parece más y más a 1. Esto no significa que lafunción exista en ese punto.

EJEMPLO 1. Un ejemplo clásico de esta situación es la función sen(x)/x. Obviamente para x = 0 no tiene sentido, ya que tendríamos.

Sin embargo, veamos una serie de gráficas de esta función y veamos lo que ocurre cuando nos vamos acercando al punto cero:

El gráfico anterior muestra el aspecto de la función entre los valores de x [-100; 100].
Parece que la función enun entorno del cero se comporta de forma totalmente errática.

Sin embargo, ampliemos la imagen por un momento y veamos qué ocurre en el intervalo [-10;10] por ejemplo:

Ahora las cosas parecen bien distintas.
De hecho, parece como si la función en el punto 0 valiese 1.

Ampliemos un poco más para ver si es verdad, por ejemplo veamos lo que ocurre en el intervalo -0.01 a 0.01

Siseguimos así este proceso veremos que cuanto más nos acercamos al punto cero, más se acerca igualmente la función a su valor límite que es 1 en ese punto.

EJEMPLO 2. Si tomamos la función f(x)=x2-1x-1 la cual no está definida para x=1 ya que en este punto el denominador se hace cero. Sin embargo podemos ver qué pasa alrededor de este valor.
Al tomar la función f(x)=x2-1x-1, y considerar valores...