Limites

Limite Matemático

En matemática, el límite es un concepto que describe la tendencia de una sucesión o una función, a medida que los parámetros de esa sucesión o función se acercan a determinadovalor. En cálculo (especialmente en análisis real y matemático) este concepto se utiliza para definir los conceptos fundamentales de convergencia, continuidad, derivación, integración, entre otrosInformalmente, se dice que el límite de la función f(x) es L cuando x tiende a c, y se escribe:

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si se puede encontrar para cada ocasión un x suficientemente cerca de c tal que el valorde f(x) sea tan próximo a L como se desee. Formalmente, utilizando términos lógico-matemáticos:

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Esta definición se denomina frecuentemente definición épsilon-delta de límite, y se leecomo:

El límite cuando x tiende a c existe si y sólo si para todo número real ε mayor que cero existe un número real δ mayor que cero tal que si la distancia entre x y c (x no es igual a c) es menorque δ, entonces la distancia entre la imagen de x y L es menor que ε unidades"

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Límites notables

Como ejemplo de límites notables tenemos los siguientes límites de funciones, queproveen resultados muy interesantes.

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Para demostrar, por ejemplo, el segundo de estos límites, se utilizará la inecuación sen(x) < x < tan(x) en elintervalo (0,π/2), que relaciona x con las funciones seno y tangente. Luego dividimos por sen(x), obteniendo:

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Invirtiendo los términos de la inecuación y cambiando los signos de desigualdad:[pic]
Calculando el límite cuando x tiende a 0:

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Lo que es igual a:

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Aplicando el teorema del sándwich o teorema de estricción, el límite necesariamente vale 1:[pic]
El tercero de los límites se demuestra utilizando las propiedades de los límites y el valor obtenido en el límite anterior. Es decir:

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El límite que obtiene el número...