Limites

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Limite Matemático

En matemática, el límite es un concepto que describe la tendencia de una sucesión o una función, a medida que los parámetros de esa sucesión o función se acercan a determinadovalor. En cálculo (especialmente en análisis real y matemático) este concepto se utiliza para definir los conceptos fundamentales de convergencia, continuidad, derivación, integración, entre otrosInformalmente, se dice que el límite de la función f(x) es L cuando x tiende a c, y se escribe:

[pic]
si se puede encontrar para cada ocasión un x suficientemente cerca de c tal que el valorde f(x) sea tan próximo a L como se desee. Formalmente, utilizando términos lógico-matemáticos:

[pic]
Esta definición se denomina frecuentemente definición épsilon-delta de límite, y se leecomo:

El límite cuando x tiende a c existe si y sólo si para todo número real ε mayor que cero existe un número real δ mayor que cero tal que si la distancia entre x y c (x no es igual a c) es menorque δ, entonces la distancia entre la imagen de x y L es menor que ε unidades"

[pic]

Límites notables

Como ejemplo de límites notables tenemos los siguientes límites de funciones, queproveen resultados muy interesantes.

▪ [pic]     (número e)
▪ [pic]
▪ [pic]

Para demostrar, por ejemplo, el segundo de estos límites, se utilizará la inecuación sen(x) < x < tan(x) en elintervalo (0,π/2), que relaciona x con las funciones seno y tangente. Luego dividimos por sen(x), obteniendo:

[pic]
Invirtiendo los términos de la inecuación y cambiando los signos de desigualdad:[pic]
Calculando el límite cuando x tiende a 0:

[pic]
Lo que es igual a:

[pic]
Aplicando el teorema del sándwich o teorema de estricción, el límite necesariamente vale 1:[pic]
El tercero de los límites se demuestra utilizando las propiedades de los límites y el valor obtenido en el límite anterior. Es decir:

[pic]
El límite que obtiene el número...
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