Limites

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ANÁLISIS DE LÍMITES DOBLES

Facultad de Ciencias Económicas - Universidad de Buenos Aires Resumen
En este trabajo se incluyen algunas situaciones vinculadas al límite doble y su relación con los límites sucesivos, radiales y parabólicos, en las que se utiliza soporte informático como recurso didáctico. El uso del programa Mathematica contribuye a la construcción del concepto de límite defunciones de dos variables aportando herramientas de cálculo y de visualización. Visualizar en matemática (Zimmerman y Cunningham, 1990) es un proceso en la formación de imágenes mentales en el que interviene la construcción, identificación y manipulación de diagramas o gráficos (ya sea mentalmente, con lápiz y papel o con ayuda de tecnología) asociados a un concepto o problema matemático que permitansu comprensión o ayuden en su resolución. La introducción de sistemas de cálculo simbólico en la enseñanza de la matemática ha hecho posible el desarrollo de numerosas experiencias didácticas que permiten al alumno explorar, conjeturar, analizar, verificar ideas y desarrollar estrategias para la resolución de problemas. 1. INRODUCCIÓN

El límite de funciones de dos variables es uno de losconceptos más abstractos y de gran relevancia en el aprendizaje del Cálculo ya que está estrechamente vinculado con otros conceptos como continuidad, derivada e integrales. En este trabajo se incluyen algunas situaciones vinculadas al límite doble y su relación con los límites sucesivos, radiales y parabólicos, en las que se utiliza el soporte informático como recurso didáctico. Investigacionesrealizadas en educación matemática señalan que en la construcción de este conocimiento se pueden determinar varias concepciones ligadas a los contextos en los cuales se los aplique. Sánchez y Contreras (1998) distinguen las siguientes concepciones: Concepción geométrica: relacionada con situaciones ligadas al contexto geométrico como por ejemplo aproximaciones de áreas o volúmenes. Concepción numérica:ligada a la utilización de valores de las variables independientes y las correspondientes sucesiones de la variable dependiente. Concepción analítica: relacionada con la introducción de las variables lógicas ε y δ . Concepción topológica: es la definición más general, en la que se utiliza el concepto de punto de acumulación. En esta presentación se tiene en cuenta el aspecto geométrico y lavisualización del concepto. Zimmerman y Cunningham (1991) citados por Nihat Boz (2005) definen visualización como “el proceso de producir o de usar las representaciones geométricas o gráficas de conceptos, de principios, o de problemas matemáticos, realizados a mano o generados por computadora”. Visualizar en matemática, según estos autores, es un proceso en la formación de imágenes mentales en el queinterviene la construcción, identificación y manipulación de diagramas o gráficos (ya sea mentalmente, con lápiz y papel o con ayuda de tecnología) asociados a un concepto o problema matemático que permitan su comprensión o ayuden en su resolución. El uso del programa Mathematica contribuye a la construcción del concepto de límite de funciones de dos variables aportando herramientas de cálculo y devisualización que permiten una mejor comprensión de la relación entre los límites dobles, radiales y sucesivos.

2. SITUACIONES QUE VINCULAN LÍMITE DOBLE CON SUCESIVOS, RADIALES Y PARABÓLICOS

2.1 Situación 1: Límites radiales distintos
⎧ x2 y2 si ⎪ 2.1.1 Dada la función g : ℜ 2 → ℜ / g (x , y ) = ⎨ x 4 + y 4 ⎪ si ⎩ 0

(x , y ) ≠ (0,0) (x , y ) = (0,0)

Se la define con el programaMathematica y se calculan sus límites en el origen.

2.1.2 Límites sucesivos en el origen Cálculo de L1
⎞ ⎛ L1 = lim ⎜ lim g ( x , y )⎟ x → 0⎝ y → 0 ⎠

Cálculo de L2
L2 = lim ⎛ lim g (x , y )⎞ ⎜ ⎟ y → 0⎝ x → 0 ⎠

0 0

0 0

L1 = 0

L2 = 0

Por lo tanto, si existe el límite doble en el origen, éste debe valer 0. 2.1.3 Límites radiales en el origen

Lr =

m2 1 + m4

Como el límite...
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