Lineal Uno

Notas del curso de Algebra Lineal I
Luis Valero Elizondo 11 de septiembre de 2008

´ Indice general
1. Sistemas de ecuaciones lineales. 1.1. Campos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. Sumatorias. . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3. Sistemas de ecuaciones lineales. . . . . . . 1.4. Matrices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5. Multiplicaci´n de matrices. . . . . . . . . . o1.6. Matrices elementales. . . . . . . . . . . . . 1.7. Operaciones elementales de rengl´n. . . . . o 1.8. Matrices escal´n reducidas por renglones. . o 1.9. Matrices invertibles. . . . . . . . . . . . . 1.10. Soluci´n de sistemas de ecuaciones lineales. o 4 4 7 8 12 18 22 25 29 34 39 52 52 58 64 69 76 78 81

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2. Espacios vectoriales. 2.1. Definici´n de espacio vectorial y ejemplos. . . . o 2.2. Subespacios. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 2.3. Independencia lineal. . . . . . . . . . . . . . . . 2.4. Bases y dimensi´n. . . . . . . . . . . . . . . . . o 2.5. Coordenadas con respecto a una base ordenada. 2.6. Matriz de cambio de base. . . . . . . . . . . . . 2.7. C´lculos relativos a subespacios. . . . . . . . . . a 3. Transformaciones lineales. 3.1. Definici´n de transformaci´n lineal y ejemplos. . o o 3.2. N´cleo eimagen de una transformaci´n lineal; u o dimensi´n. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 3.3. Algebra de las transformaciones lineales. . . . . 3.4. Isomorfismos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5. Matriz asociada a una transformaci´n lineal. . . o 1

. . . . . . . Regla de la . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

85 . 85 . . . . 87 90 92 94

3.6. Semejanzade matrices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 3.7. Funcionales lineales, espacio dual y bases duales. . . . . . . . . 97 3.8. Transpuesta de una transformaci´n lineal. . . . . . . . . . . . 99 o 4. Determinantes. 4.1. Anillos conmutativos, funciones multilineales y funciones terminantes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2. Permutaciones, unicidad de losdeterminantes y Teorema producto para determinantes. . . . . . . . . . . . . . . . 4.3. Matriz adjunta y Regla de Cramer. . . . . . . . . . . . . 101 de. . . 101 del . . . 103 . . . 107

Introducci´n. o
Estas son las notas del curso de Algebra Lineal I impartido por Luis Valero Elizondo en la licenciatura de la Facultad de Ciencias F´ ısico-Matem´ticas de a la Universidad Michoacana de San Nicol´s deHidalgo, Morelia, Michoac´n, a a M´xico. Se pueden bajar por internet de la p´gina del autor, que es e a http://www.fismat.umich.mx/~valero Escrib´ estas notas para que ustedes (mis alumnos) no tengan que perder ı tiempo en clase escribiendo. Si se ponen a hacer cuentas, notar´n que pasan a la mayor parte del tiempo de una clase t´ ıpica escribiendo, y muy poco tiempo pensando o haciendo activamentematem´ticas. a Para que ustedes puedan aprovechar al m´ximo este curso, es indispena sable que le dediquen muchas horas de esfuerzo dentro y fuera del sal´n o de clases. Antes de cada clase es muy importante que lean con cuidado el material que vamos a cubrir, que usualmente consistir´ de una o dos secciones a de estas notas (pues son secciones muy cortas). Tambi´n antes de clase deben intentarhacer todos los ejercicios de las e secciones que lean. En cualquier caso, incluso si no les sale uno o varios ejercicios, ya habr´n pasado un tiempo razonable pensando en ellos, y eso a nos ser´ de utilidad cuando cubramos ese material en la clase. Los ejercicios a para cada secci´n se dividen en tres clases: o Los ejercicios computacionales son cuentas m´s o menos sencillas, aunque a a veces...