Lineas de espera

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Carlos Alberto Cuesta Muñoz
MODELO DE LINEAS DE ESPERA (M*/M/1):
Es un sistema que tiene tiempos entre llegadas M* distribuidos exponencialmente con parámetro λ (promedio=1/λ); y tiempos de servicio distribuidos exponencialmente con parámetro µ (promedio=1/µ); un servidor con capacidad infinita y una disciplina de línea de espera donde el primero en llegar es el primero en atenderse.
Laconstante λ es la tasa promedio de llegada de clientes.
La constante µ es la tasa promedio de servicio a clientes.
Ambas (λ y µ) deben ser expresadas en unidades de clientes por unidades de tiempo. Entonces el tiempo esperado entre llegadas de clientes es 1/λ y el tiempo esperado para atender un cliente es 1/ µ.
La distribución de los tiempos de llegadas es equivalente sobre un intervalo de tiempoτ, a un patrón de distribución de Poisson con promedio λτ; a los sistemas de M*/M/1 se les denomina con frecuencia sistemas de línea de espera de un solo servidor de capacidad infinita, con entrada poissoniana y tiempos de servicio exponenciales.
El factor de utilización o intensidad de tránsito del sistema se denomina p= λ/µ, el cual se puede interpretar como el número esperado de clientesen un intervalo de tiempo equivalente al tiempo promedio de servicio.
Las medidas que caracterizan el desempeño del sistema o medidas de efectividad del sistema en estado estable son:
L = Número esperado de clientes en el sistema (los que están en la fila más los que están recibiendo el servicio).
L = p/(1-p)
Lq = Número esperado de clientes en la línea de espera (fila).
Lq = p2/(1-p)
W =Valor esperado de tiempo que un cliente permanece en el sistema.
W = 1/( µ-λ)
Wq = Valor esperado de tiempo que un cliente permanece en la línea de espera (fila).
Wq = p/( µ-λ)
W(t) = Probabilidad de que un cliente permanezca más de t unidades de tiempo en el sistema.
W(t) = e-(t/W) con t ≥0
W(t) = Probabilidad de que un cliente permanezca más de t unidades de tiempo en la línea deespera (fila).
Wq (t) = p*e-(t/W) con t ≥0
P(n) = probabilidad de que el sistema tenga n clientes.
P(n) = (1-p)*pn
Ejemplo: En una instalación de servicio de lavado de autos, la información que se tiene indica que los autos llegan para ser atendidos de acuerdo a una distribución de poisson con promedio de 4 autos/hora. El tiempo para lavar y asear un auto es variable de acuerdo con unadistribución exponencial con promedio de 10 minutos. La instalación no puede atender más de un auto a la vez.
Análisis y solución:
Para adjudicar a nuestro problema un modelo de línea de espera (M*/M/1) debemos suponer que el número de clientes que pueden requerir el servicio es infinito y que además existe lugar para que todos los vehículos que requieren el servicio puedan esperar (hacer lafila o estacionarse).
λ = 4 autos/hora = tasa promedio de llegada de clientes.
1/µ = 10 minutos = tiempo promedio que transcurre desde que inicia el servicio a un cliente hasta que inicia el servicio al siguiente cliente.
Nótese que µ está dado en minutos, entonces lo convertimos a las mismas unidades de λ (autos/hora).
µ = 60/10 = 6 autos/hora = tasa promedio de servicio a clientes.
p= λ/µ= 4/6 = 0,66666 el cuál es menor que 1 y garantiza el cumplimiento de uno de los supuestos teóricos del sistema.
Nótese que equivale a decir que el sistema es capaz de atender un auto cada 10 minutos, y los clientes llegan a una tasa de 0,666/10 minutos; lo cuál indica que el sistema no colapsará (fila infinita).
L = p/(1-p) = (0,6666)/(1-0,6666) =2 autos
Lq = p2/(1-p) = 1,3333 autos
W = 1/(µ-λ) = 1/(6-4) = 0,5 horas
Wq = p/( µ-λ) = 0,6666/(6-4) = 0,3333 horas
W(t) = e-(t/W) con t ≥0
W(0,5) = e-(0,5/0,5) = 0,3678 = 36,78% de probabilidad
W(1) = e-(1/0,5) = 0,1353 = 13,53% de probabilidad
W(0,25) = e-(0,25/0,5) = 0,6065 = 60,65% de probabilidad
Existe un 36,78% de probabilidad de que un cliente permanezca más de media hora en el lavadero.
Existe un 13,53% de...
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