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2006

FICHA 3 |

APUNTES DE ANÁLISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS

Estabilidad de las Construcciones 2 | Facultad de Arquitectura | UdelaR

APUNTES DE ANÁLISIS MATRICIAL DE ESTRUCTURAS
CASES DICTADAS POR EL INGENIERO ATILIO MORQUIO

EDITADOS CON LA COLABORACIÓN DE LAS ARQUITECTAS MARIANA JAURI, LAURA BOZZO, CRISTINA DUFRECHOU Y MÓNICA UMPIERRE Y DE LA BR. CLAUDIA CHOCCA.

Estas notas declase son una versión corregida de las clases dictadas en el primer y segundo semestre del año 1998.

1

RELACION ENTRE p, V y M PARA UNA VIGA RECTA

Aplicando las ecuaciones de equilibrio, buscamos hallar una relación diferencial entre la carga distribuida p, el cortante V y el momento flector M. Para hallar esta relación se elige un sistema de Y ejes (X e Y) y se considera el equilibriode un elemento infinitesimal de viga RR’ de longitud dx. Este elemento considerado como cuerpo libre está p sometido al cortante y momento flector que actúan en las dos secciones de corte y a la carga elemental transversal p.dx. (Eventualmente se podría R R´ X considerar una fuerza axil N como caso más dx x general). x+dx El elemento diferencial debe cumplir con las ecuaciones de equilibrio.p.dx

1) Proyectando según la dirección vertical se tiene: M(x)

V(x)

V(x+dx) M(x+dx)

V(x) + pdx - V(x +dx)=0 pdx = V(x+dx) - V(x)

P N(x) N(x+dx)

X

R dx x
Resultando que:

R´ x+dx

p( x) =

dV = V ´( x) dx

(I)

2)Proyectando según la dirección horizontal resulta: N(x+dx) - N(x) = 0 o sea:

N(x+dx) = N(x) O sea que en ausencia de fuerzas horizontales aplicadas, comoen nuestro caso, deberá ser la fuerza axial constante. 3) Momentos en relación al punto P. Los momentos tomados en sentido horario nos proporcionan otra ecuación.

2

M ( x) + V ( x )dx +
O sea resulta también:

pdx 2 − M ( x + dx ) = 0 2

M ( x + dx) − M ( x) pdx = V ( x) + dx 2
Cuando dx tiende a cero el término de la derecha se convierte en la derivada del momento y p.dx tambiéntiende a cero, con lo cual es posible eliminarlo resultando

V ( x) =

dM = M ´( x) dx

(II)

Finalmente combinando las relaciones (I) y (II), se concluye que

dV d 2M p( x) = = V ´( x ) = = M " ( x) dx dx 2

(III)

Esta ecuación diferencial relaciona la carga distribuida, el cortante y el momento flector para una viga recta. Observese que las tres magnitudes relacionadas son en generalfunciones de x, o sea de la coordenada del punto.

3

RELACIÓN ENTRE EL MOMENTO FLECTOR Y EL RADIO DE CURVATURA.

Para relacionar las solicitaciones en una viga con su deformada, se acepta (dado que normalmente el efecto producido por el cortante es muy pequeño comparado con el producido por el momento flector) que puede considerarse solamente la influencia del momento flector. O sea, dichode otra manera, para la obtención de la deformada (conocida también como elástica) de una viga, puede normalmente ser despreciado el esfuerzo cortante. También normalmente se considera válida la hipótesis de Bernoulli, o sea que las secciones planas y perpendiculares al eje, luego de deformada la viga, se mantienen planas y perpendiculares al eje.

C CD = r

M

M

A3

D

B3

dx 2 A2A´2 A4 A´3=A3 A´4 LN ξ A1

dx 2 B´2 B2 B´4 B4 B3=B´3

El radio de curvatura (r) de la deformada de una viga puede ser obtenido a partir del momento flector existente. Según se indica en la figura tomaremos la coordenada x en la dirección de la viga y analizaremos el problema imaginando un trozo de la viga de longitud dx. Si consideramos que para ese valor de x existe un momento flector M (queen general será función de x), tenemos que la viga que originalmente era recta (con un radio de curvatura infinito) se va a deformar alcanzando la forma de un segmento de circunferencia de radio de curvatura r (en la medida que M sea función de x, el radio de curvatura también lo será). Elegiremos un punto genérico A4 definido por la coordenada ξ. Notaremos el punto antes de que la viga se...
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