Logaritmos Y Propiedades

Definición:
Dado un número real (argumento x), la función logaritmo le asigna el exponente n (o potencia) a la que un número fijo b (base) se ha de elevar para obtener dicho argumento. Es la funcióninversa de b a la potencia n. Esta función se escribe como:

(Esto se lee como: logaritmo en base b de x es igual a n; sí y sólo si b elevado a la n da por resultado a x)

Para que la definiciónsea válida, no todas las bases y números son posibles. La base b tiene que ser positiva y distinta de 1, luego b> 0 y b ≠ 1, x tiene que ser un número positivo x > 0 y n puede ser cualquiernúmero real (n ∈ R). Así, en la expresión b> 102 = 100, el logaritmo de 100 en base 10 es 2, y se escribe como log10 100 = 2.

PROPIEDADES GENERALES

* Los logaritmos, independientemente de labase elegida, cumplen una serie de propiedades comunes que los caracterizan. Así, logaritmo de su base es siempre 1;  logb b = 1 ya que b1 = b. El logaritmo de 1 es cero (independientemente de labase);  logb 1=0 ya que b0 = 1.

* Si el número real a se encuentra dentro del intervalo 0 < a < 1 entonces logb a da un valor negativo o se dice que es un logaritmo negativo. Es evidente, yaque si logaritmo de 1 es cero, entonces valores reales menores que uno serán negativos por ser la función logarítmica estrictamente creciente y cuyo recorrido es (-∞, +∞). También se puede demostrarusando la identidad logarítmica logb(x/y)=logb x - logb y; ; puesto que a pertenece al intervalo 0 < a < 1, su inverso a-1 será mayor que uno, con lo que
logb(a)=logb(1/a-1) = logb 1 -logb(a-1)= -logb(a-1).

* Los números negativos no tienen logaritmo en el cuerpo de los reales R, ya que cualquiera que sea el exponente n, se tendrá siempre que bn  será mayor que cero, bn > 0; enconsecuencia, no hay ningún valor real de n que pueda satisfacer bn  = x cuando x sea menor que 0. Sin embargo, este obstáculo se puede salvar, ampliando el dominio de definición al cuerpo de los...