Propiedades de logaritmos

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CALCULO DIFERENCIAL
Escuela Colombiana de Ingeniería

1.6. BREVE REPASO DE LOGARITMOS.
Sistemas de Logaritmos.
Si cualquier número positivo puede tomarse como Base, existe infinito número de sistemas de logaritmos, pero tradicionalmente, solo se utilizan dos sistemas: o Logaritmos Vulgares, aquellos cuya base es 10, y se expresan como Log10 ., o como Log o Logaritmos Naturales o Neperianos,cuya base es el número e, y se expresan como Log e , o lo que es lo mismo como Ln .

Propiedades Generales de los Logaritmos.
1. La Base de un sistema de logaritmos no puede ser negativa. Al ser negativa, se tendría potencias pares que son positivas y potencias impares que son negativas, lo que genera número sin logaritmo. 2. Los números negativos no tiene logaritmo. 3. En todo sistema delogaritmos, el logaritmo de la base es 1. 4. En todo sistema de logaritmos, el logaritmo de 1 es cero. 5. Los números mayores que 1 tienen logaritmo positivo. 6. Los número menores que 1 tienen logaritmo negativo.

Reglas de los Logaritmos:
Para las siguientes reglas debe cumplirse que A ≥ 0 ; B ≥ 0 y c ≠ 1

Regla No.1

Logaritmo de un Producto El logaritmo de un producto es igual a la suma delos logaritmos de los factores.

Log c ( A × B) = Log c ( A) + Log c ( B )

1.

- Preliminares

Ing. Juan Manuel Sarmiento Pulido

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Regla No.2

Logaritmo de un Cociente El logaritmo de un producto es igual al logaritmo dividendo menos el logaritmo del divisor.

Log c ( A / B ) = Log c ( A ) − Log c ( B )

Regla No.3Logaritmo de una Potencia El logaritmo de una potencia es igual al exponente multiplicado por el logaritmo de la base.

Log c ( A n ) = n ( Log c ( A ) )

Regla No.4

Logaritmo de una Raíz El logaritmo de una raíz es igual al logaritmo de la cantidad subradical dividido entre el índice de la raíz.

Log c

n

A =

(

Log c ( A)

)

n

, donde A ≥ 0 ; n ≠ 0

Regla No 5.Definiciones de Logaritmos

c

Log c ( M )

=M,

y

Log c C n = n

1.

- Preliminares

Ing. Juan Manuel Sarmiento Pulido

CALCULO DIFERENCIAL
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Ejemplo Escriba Log a

x2

( x − 1)
x2
3

3

como una diferencia de logaritmos.

Log a

( x − 1)

= Log a x 2 − Log a ( x − 1) =
−3

Expresando las potencias como factores

Log a x 2 = 2 Loga x
Log a ( x − 1) = − 3 Log a ( x − 1)
−3

Por tratarse del logaritmo de una potencia Por tratarse del logaritmo de una potencia

Log a

x2

( x − 1)

3

= 2 Log a x + 3 Log a ( x − 1) =

Reemplazando en la expresión original

Propiedades de los logaritmos Vulgares ( Base 10 )
a. En este sistema los únicos números cuyos logaritmos son números enteros son las potencias de 10.b. El logaritmo de todo número que no sea una potencia de 10 será una fracción propia o un número entero más una fracción propia, entendiéndose como Característica el número entero y la Mantiza la fracción. Como Log ( 1 ) = 0 y Log ( 10 ) = 1 , los números comprendidos entre 1 y 10 tendrán un logaritmo entre 0 y 1. Como Log ( 10 ) = 1 y Log ( 100 ) = 2 , los número comprendidos entre 1 y 2 tendráncomo número entero del logaritmo el número 1, más una fracción propia de cada número. c. Valor de la Característica. Para un número comprendido entre 1 y 10, la característica es 0. Para un número mayor que 10, la característica será un número menor que el número de cifras enteras del número. d. Valor de la Mantiza

1.

- Preliminares

Ing. Juan Manuel Sarmiento Pulido

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En los números menores que 1, la característica es negativa, pero la mantisa es positiva.

Cambio de Base
En ocasiones se hace necesario calcular logaritmos que tiene Base diferente a las dos expuestas anteriormente, Base 10 o Base e. Cuando esta situación se presenta se hace necesario realizar un cambio de Base para pasar la expresión de una Base...
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