logaritmos

LEYES DE EXPONENTES
Sea un número real x . Si se multiplica por sí mismo se obtiene x × x . Si a este resultado se multiplica
nuevamente por x resulta x × x × x . De manera sucesiva, si x se multiplica por si misma n veces, se
obtiene: 


n veces
x × x × x × ×× x
Para simplificar este tipo de expresiones se acostumbra utilizar una notación abreviada, tal que:
5
4
3
2
x x x x x x
xx x x x
x x x x
x x x
× × × × =
× × × =
× × =
× =
y en general:
n
n veces
x × x × x ××× x = x



Donde x es llamada base y el número n escrito arriba y a su derecha, es llamado exponente. El
exponente indica el número de veces que la base se toma como factor.
Primera ley de los exponentes
Sea un número real x diferente de cero y dos números naturales n y m también diferentes decero.
Entonces, se cumple que:
n m n m x x x
× = +
Al multiplicar potencias con la misma base, se mantiene la base y se suman los exponentes.
Ejemplos.
1) ( 3 )( 2 ) 3 2 5 x x = x = x +
2) ( 2 )( 6 ) 8
4a 5a = 20a
3) ( 4 )( 2 )( 7 ) 13
2k - k 5k = -10k
4) ( 3 ) 2 3 4 6
4
3
8 b a b a ab = 




5)
3 5 6 4 9 10 9 10
5
1
240
48
12
1
4
8
5
6
q p q p q q p q p - = - =







- 




2
Segunda ley de los exponentes
Sea un número real x diferente de cero y dos números naturales n y m también diferentes de cero.
Entonces, se cumple que:
n m
m
n
x
x
x = -
Al dividir potencias con la misma base, se mantiene la base y se restan los exponentes.
Ejemplos.
1)
7 4 3
4
7
x x
x
x = - =
2)
5
3
8
2
5
10
a
a
a = -
-3) 2 2
5
7 3
4
7
28
k m
k m
k m =
-
-
4)
2
4
6
3
8
4
1
3
2
a
a
a
=
5)
4 6
2 2
3 6 7
3
2
48
32
xy z
x y z
x y z - = -
Tercera ley de los exponentes
Sea un número real x diferente de cero. Si en la ley anterior, se hace que n = m , se tiene que:
0 x x
x
x n n
n
n
= - =
.
Pero al dividir una expresión por si misma el resultado es la unidad, así que secumple que:
1
0 x =
Cualquier base diferente de cero elevada a la potencia cero es uno.
1) 1
2 2 0
2
2
= - = =
x x
x
x
2) 5 5(1) 5
0 a = =
3) ( ) 1
0 xyz =
3
4) 3
9
27
3
3
=
a
a
5) 1
13 13 0
13
13
6 7
3 4 6
= - = - = -
-
=
-
-
x x
x
x
x x
x x x
Cuarta ley de los exponentes
Sea un número real x diferente de cero y dos números naturales n y m tambiéndiferentes de cero.
Entonces, se cumple que:
( n )m n m x x
= ×
Al elevar una potencia a otra potencia, se mantiene la base y se multiplican los exponentes.
Ejemplos.
1) ( ) 3(2) 6 3 2 x = x = x
2) ( ) 3(4) 12 3 4 a = a a
3) ( ) 5(3) 15 5 3 e = e = e
Quinta ley de los exponentes
Sean dos números reales x y y diferentes de cero y un número natural n también diferente de cero.
Entonces, se cumpleque:
( )n n n xy = x y
El producto de uno o más factores que se elevan todos a la vez a un exponente es igual a un producto de
cada factor elevado al exponente.
Ejemplos.
1) ( ) 5 10 10
5
2
2a = 2 × a = 32a
2) ( ) ( ) 12 12 3 3
4
- 3k = - 3 × k = -27k
3) ( ) 4 4 12 4 12
4
3
5ab = 5 × a b = 625a b
4) ( ) 2 2 6 2 6 2 2 4xy = 4 × x × y = 16x y
5) ( ) 6 30 12 18 30 12 18 5 2 3 6 10m np = 10 ×m × n p = 1'000,000m n p
Sexta ley de los exponentes
Sean dos números reales x y y diferentes de cero y un número natural n también diferente de cero.
Entonces, se cumple que:

4
0 ¹ =  


 


, y
y
x
y
x
n
n n
El cociente de uno o más factores que se elevan todos a la vez a un exponente es igual al cociente de
cada factor elevado al exponente.
Ejemplos.
1)2
2
2
y
x
y
x =  


 

2) ( )
( ) 3 3
3 3
3
3 3
c d
a b
cd
ab
cd
ab = = 




3) ( ) ( )
81
625
3
5
3
5
3
5 12
4
4 3 4
4
3 4
4
3 p p p p = = =  


 


4) ( )
( ) 8
12
4
2
4
3
4
4
2
3
4
2
3
2 2 16
4
8
m
k
m
k
m
k
m
k = =  


 


=  


 


5) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) 24 12
18 30...