Logaritmos

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Guía Matemática
ECUACIONES NO ALGEBRAICAS
´ Melgarejo
profesor: Nicolas

.cl

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1.

Ecuaciones no algebraicas

Se le denomina a aquellas igualdades con inc´ognitas que no est´an descritas mediante polinomios. Por
ejemplo las ecuaciones ax2 + bx + c = 0 y ax + b = 0 son ecuaciones polin´omicas o algebraicas, pero una
ecuaci´on del tipo
32x+1 = 2
no es algebraica, aeste tipo de igualdades les denominamos ecuaciones exponenciales porque la inc´
ognita est´a en el exponente. Otro ejemplo de ecuaci´on no algebraica son las del tipo
log(10x − 3) = log(x) + 1
A estas ecuaciones se les llama ecuaciones logar´ıtmicas y tambi´en las estudiaremos en este cap´ıtulo.

1.1.

Ecuaci´
on exponencial

Son las igualdades donde la inc´
ognita est´a en el exponente. Pararesolver este tipo de ecuaciones
debemos considerar dos propiedades:
✹ xa = xb ⇐⇒ a = b
✹ xa = y a ⇐⇒ x = y
Para aplicar estas propiedades en una ecuaci´on exponencial nuestro objetivo ser´a igualar las bases, de
tal modo que el problema se reduzca a resolver una ecuaci´on algebraica. Para entender c´omo proceder
veamos el siguiente ejemplo.

✎ Ejemplo
Halla el valor de la inc´
ognita para que laigualdad sea cierta.
1. 52x+3 = 625
Soluci´
on: Recordar que el objetivo es igualar las bases, para ello podemos escribir 625 como 54
52x+3 = 625
52x+3 = 54
Aplicando la primera propiedad, como tenemos la igualdad entre dos potencias con la misma base,
entonces sus exponentes tambi´en tienen que ser iguales.
2x + 3 = 4
2x = 4 − 3
1
x=
2
2. 3a+2 = 1
Soluci´
on: Como queremos igualar las bases podemosescribir 1 como 30
3a+2 = 1
3a+2 = 30
Como las bases son iguales podemos igualar los exponentes.
a+2=0
a = −2

2

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3. 24x−5 + 5 = 69
Soluci´
on:
24x−5 + 5 = 69
24x−5 = 69 − 5
24x−5 = 64
24x−5 = 26
4x − 5 = 6
4x = 11
11
x=
4
1
3
=−
64
32
Soluci´
on:

4. 41−x −

3
1
=−
64
32
3
41−x =
−
64
3
−
41−x =
64
1
41−x =
64
1
1−x
4
= 3
4
41−x = 4−3

41−x −

1
32
2
64

1 − x = −3
1+3=x
x=4Desaf´ıo I
¿Es cierto que si ax + ay = az entonces x + y = z para cualquier a, x, y, z ∈ R?
Respuesta

3

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✍ Ejercicios

1

Resuelve las siguientes ecuaciones exponenciales.
1. 3x − 243 = 0
2.

6. 11x(x−1) = 100

1
= 21−x
128

7. Si 5a+3 = 1, entonces 5a+5 =
8. 12 · 2x + 2x+2 = 1

3. 2x+1 + 2x+1 = 1
√
√
4. 3x = 9x+1

✶

5. 728 = 92x−3 − 1

2.

1
32x+3
=
x−5
4
16

✶ 3x+2 + 3x+3 = 4Logaritmo

Podemos entenderlo como el exponente al cual debe elevarse una base para obtener como resultado
un n´
umero dado. Por ejemplo:
El logaritmo en base 3 de 9 es 2
Es decir, el exponente al que debemos elevar la base 3 para obtener 9 es 2. Lo anterior se escribe
matem´aticamente como:
log3 9 = 2
La relaci´on entre una potencia y la simbolog´ıa del logaritmo de manera general es:
loga b = c ⇐⇒ac = b
Dicha relaci´
on nos permite pasar de una simbolog´ıa a la otra. Cabe destacar que cuando no se explicita
la base, se asume que ´esta es 10.
log b = log10 b

✍ Ejercicios

2

Hallar el valor de cada logatimo
1. El logaritmo en base 3 de 1

7. El logaritmo en base 2 de

2. El logaritmo en base π de 1

1
100
√
9. El logatirmo en base 8 de 2 2
8. El logaritmo en base 10 de

3. El logaritmo enbase 2 de 16
4. El logaritmo en base 100 de 100
5. El logaritmo en base π de π
6. El logaritmo en base 25 de

1
2

10. El logatirmo en base 8 de 2
√
11. El logarimo en base 12 de 2 3

1
5

4

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2.1.

Propiedades

Algunas de las propiedades m´
as importantes de los logaritmos son:
✓ El logaritmo loga b, est´
a definido s´
olo para a > 0
✓ Para loga b, no existe el logaritmo si b ≤0
Por ejemplo log −3 no existe, ya que no hay n´
umero c ∈ R tal que 10c = −3 porque la base es
positiva.
✓ Para cualquier a > 0 se cumple que
loga a = 1
Es f´acil comprobarlo si escribimos el logaritmo como potencia:
loga a = c ⇐⇒ ac = a
∴c=1
✓ Para cualquier a > 0 se cumple que
loga 1 = 0
Es f´acil comprobarlo si escribimos el logaritmo como potencia:
loga 1 = c ⇐⇒ ac = 1
∴c=0
✓ El logaritmo...