logica proposicional

Predicados

Cuantificadores

Preguntas

Matemáticas Discretas, Lógica: Predicados
y Cuantificadores
Prof. Víctor Bravo1
1 Universidad

de los Andes

A-2008

Predicados

Cuantificadores

Preguntas

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Cuantificadores

Agenda

1

Predicados
Tautologías y Contradicciones
Definiciones

2

Cuantificadores
Definiciones
Implicaciones y Equivalencias Lógicas

3

Preguntas

Preguntas

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Cuantificadores

Tautologías y Contradicciones

Tautologías útiles

Tautologías útiles
Ley del absurdo
Ley de la importación
Ley de la exportación
Ley delsilogismo hipotético
Ley de la adjunción
Ley de la simplicación
Modus tollendo pollens
Modus tollendo tollens
Ley de la separación

(p → q ∧ ¬q) → ¬p
(p → (q → r )) → (p ∧ q → r )
(p ∧ q → r ) → (p → (q → r ))
(p → q) ∧ (q → r ) → (p → r )
p∧q →p∧q
p∧q →p
¬p ∧ (p ∨ q) → q
¬q ∧ (p → q) → ¬p
p ∧ (p → q) → p

Preguntas

Predicados

Cuantificadores

Preguntas

Tautologías yContradicciones

Tipos de elementos en la lógica de Predicados

Constantes
Objetos concretos, formando un universo de discurso, un
conjunto U.
Variables
Objetos genéricos que normalmente denotamos con las letras
x, y, z, . . . y que podrán sustituirse por objetos de U.

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Preguntas

Tautologías y Contradicciones

Predicados

¿Qué es un predicado?
Lospredicados son sentencias abiertas, en las que se incluyen
una o más variables. También se les llama función
proposicional.
Estos enunciados no son ni verdaderos ni falsos, si no se
especifican los valores de las variables.
Un predicado se convierte en una proposición cuando todas
las variables que aparecen en él, se remplazan por opciones
permisibles del universo de discurso.

PredicadosCuantificadores

Preguntas

Tautologías y Contradicciones

Representación de predicados

¿Cómo se representan los predicados?
Los predicados se representan por símbolos del tipo p(x), q(x)
o p(x,y), q(x,y,z), etc.
Por ejemplo:
Si p(x) = x > 100, p(x) se convierte en proposición al sustituir x
por algún número natural.
p(101) es Verdadera.
p(50) es Falsa.

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Definiciones

Definición de cuantificador

¿Qué es un cuantificador?
Otra forma de crear una proposición o de cerrar una función
proposicional abierta, es la Cuantificación.
Una proposición abierta se cierra, si todas sus variables se
cuantifican.
Trataremos con dos tipos de cuantificadores:
1

Existencial

2

Universal

Preguntas

Predicados

Cuantificadores

PreguntasDefiniciones

Cuantificador Existencial

¿Qué es un cuantificador existencial?
Denota que existe “al menos” un elemento x del Universo, para
el cual p(x) es verdadera.
Notación:
∃x p(x) ó
∃x∃y p(x, y ) ↔ ∃x, y p(x, y )

Predicados

Cuantificadores

Preguntas

Definiciones

Cuantificador Existencial

En lenguaje natural decimos...
Formas de expresarlo:
“Hay un x”
“Para algún x”“Para al menos un x”
“Existe un x tal que”
Resumiendo...
La proposición es Verdadera, si existe al menos un elemento x
del universo tal que p(x) sea verdadera. De lo contrario es
falsa.

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Cuantificadores

Preguntas

Definiciones

Cuantificador Existencial

Veamos un ejemplo
Si p(x) es “x < 100”
Tenemos...
Cerramos p(x) al escribir ∃x p(x), donde el universo...