los complejos

Números complejos:

Un número complejo es un número de la forma:
a +bi Forma estándar
Donde a y b son números reales e i se llama unidad imaginaria.

La unidad imaginaria i introducida en la definición no es un número real. Este es
Un símbolo especial usado en la representación de los elementos en este nuevo sistema de números complejos.

Algunosejemplos de números complejos son:
3 - 2i 5 +0i 2 – 52i 0 + 3/ 5i 1/2 + 0i

Las clases particulares de números complejos reciben los siguientes nombres especiales:

Unidad imaginaria:
i
Numero complejo:
a + bi a y b son números reales
Numero imaginario:
a + bi b≠0
Numero imaginario puro:
0 + bi= bi b ≠ 0
Numero real:
a + 0i = a
Cero:
0 + 0i = 0
Conjugado dea + bi:
a - bi

En la definición, se observa que se identifica un número complejo de la forma
a +0i con el numero real a, un numero complejo de la forma 0 + bi, b 0, con el numero imaginario puro bi, y el numero complejo 0 + 0/ con el numero real 0. De esta manera, un número real es también un número complejo, al igual que un número racional es también un número real. Cualquier númerocomplejo que no es un número real se llama número imaginario. Si se combina el conjunto de todos los números reales con el conjunto de todos los números imaginarios, se obtiene C, el conjunto de los números complejos.

Grafica cartesiana de los complejos:

Explorando la variedad de alternativas que se tiene se hallo que se puede modelar un número complejo (un número en la forma a + bi, donde a esun número real y bi un número imaginario; la i siendo equivalente a la raíz cuadrada de -1, con la b sirviendo de "coeficiente") usando el plano cartesiano.


Localizar un número complejo sigue las mismas reglas que localizar un punto específico en el plano cartesiano: comienzas en el origen (0, 0), te mueves a la izquierda (negativo) o derecha (positivo) para localizar x; y luego arriba oabajo para y. La única diferencia es que expresamos el punto como un complejo.

Ejemplos:

3 + 8i se encuentra en (3, 8)
-11 + 0i sería el punto (-11, 0)
-6 - 4i está localizado en (-6, -4)
7 - 7i es equivalente a (7, -7)

De aquí podemos enseñar geométricamente el valor absoluto de un complejo:


¿es familiar cierto? Es la fórmula para hallar la hipotenusa de un triángulo rectángulomediante el Teorema de Pitágoras y la fórmula para hallar la distancia de dos puntos cuando uno de éstos es el origen:


|3 + 8i| = (3² + 8²) = (9 + 64) = (73) ≈ 8.55
|-11| = 11
|-6 - 4i| = (6² + 4²) = (36 + 16) = (52) ≈ 7.21
|7 - 7i| = (7² + 7²) = (49 + 49) = (98) ≈ 9.90

Otras de las aplicaciones en las que podemos utilizar el plano cartesiano para los complejos son para mostrar sumas yrestas de complejos. 

Para ambos casos se comienza en el punto a + bi (el primer número complejo). 
Cuando se esta sumando, se traslada c pasos, con la dirección provista por el signo que tenga c, sea positivo (derecha) o negativo (izquierda). Luego se mueve d pasos hacia arriba (si d es positivo) o abajo (si d es negativo)
 Ejemplo: (3 - 11i) + (-12 + 6i)



Modelar la resta es similar amodelar la suma, solamente que te mueves opuesto a los signos de c y d.
 Ejemplo: (-5 + 4i) - (-10 - i)


Hallar la suma y resta de números complejos en forma geométrica ayuda a que los estudiantes se acostumbren a que puedan trazar una función lineal, dado un punto y la pendiente, con más facilidad.

Para usar los números complejos, se debe saber como se suman, restan, multiplican y dividen.Se empezara por definir la igualdad, suma y multiplicación.

Igualdad y operaciones básicas:
Igualdad:
a + bi = c + di si y solo si a = c y b = d
Suma:
(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i
Multiplicacion:
(a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i

En la tabla se enumeran las propiedades básicas de un sistema de números reales. Usando la definición, se puede demostrar que...