Los Negocios De Mi Vida

Regresión Lineal

Ejemplo de una regresión lineal con una variable dependiente y unavariable independiente.
En estadística la regresión lineal o ajuste lineal es un métodomatemático que modela la relación entre una variable dependiente Y, las variables independientes Xi y un término aleatorio ε. Este modelo puede ser expresado como:

: variable dependiente, explicada o regresando.
:variables explicativas, independientes o regresores.
: parámetros, miden la influencia que las variables explicativas tienen sobre el regresando.
donde  es la intersección o término "constante", las son los parámetros respectivos a cada variable independiente, y  es el número de parámetros independientes a tener en cuenta en la regresión. La regresión lineal puede ser contrastada con la regresión nolineal.
El modelo de Regresión Lineal
El modelo lineal relaciona la variable dependiente Y con K variables explicativas  (k = 1,...K), o cualquier transformación de éstas, que generan un hiperplano de parámetros  desconocidos:

donde  es la perturbación aleatoria que recoge todos aquellos factores de la realidad no controlables u observables y que por tanto se asocian con el azar, y es la queconfiere al modelo su carácter estocástico. En el caso más sencillo, con una sola variable explicativa, el hiperplano es una recta:

El problema de la regresión consiste en elegir unos valores determinados para los parámetros desconocidos , de modo que laecuación quede completamente especificada. Para ello se necesita un conjunto de observaciones. En una observación cualquiera i-ésima (i= 1,...I) se registra el comportamiento simultáneo de la variable dependiente y las variables explicativas (las perturbacionesaleatorias se suponen no observables).

Los valores escogidos como estimadores de los parámetros, , son los coeficientes de regresión, sin que se pueda garantizar que coinciden con parámetros reales del proceso generador. Por tanto, en

Los valores  son por suparte estimaciones de la perturbación aleatoria o errores.

Tipos de modelos de Regresión Lineal
Existen diferentes tipos de regresión lineal que se clasifican de acuerdo a sus parámetros:
Regresión lineal simple
Sólo se maneja una variable independiente, por lo que sólo cuenta con dos parámetros. Son de la forma:4

donde  es el error asociado a la medición del valor  y siguen los supuestos de modoque  (media cero,varianza constante e igual a un  y  con ).
Análisis
Dado el modelo de regresión simple, si se calcula la esperanza (valor esperado) del valor Y, se obtiene:

Derivando respecto a  y  e igualando a cero, se obtiene:

Obteniendo dos ecuaciones denominadas ecuaciones normales que generan la siguiente solución para ambos parámetros:4

La interpretación del parámetro  es que unincremento en Xi de una unidad, Yi incrementará en 
Regresión lineal múltiple
La regresion lineal nos permite trabajar con una variable a nivel de intervalo o razón, así también se puede comprender la relación de dos o más variables y nos permitirá relacionar mediante ecuaciones, una variable en relación a otras variables llamándose Regresión múltiple. Constantemente en la práctica de la investigaciónestadística, se encuentran variables que de alguna manera están relacionados entre si, por lo que es posible que una de las variables puedan relacionarse matemáticamente en función de otra u otras variables.
Maneja varias variables independientes. Cuenta con varios parámetros. Se expresan de la forma:6

donde  es el error asociado a la medición  del valor  y siguen los supuestos de modoque  (media cero,varianza constante e igual a un  y  con ).
Correlación lineal
Si disponemos de dos series de datos emparejadas, con frecuencia es útil conocer si ambas variables están relacionadas, y, en caso afirmativo, encontrar la expresión que refleja dicha relación. Si la ecuación que mejor relaciona dichas variables es la de una recta, decimos que existe correlación lineal.
Un ejemplo...