Los numeros complejos

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LOS NÚMEROS COMPLEJOS
Definición
Se puede considerar C como el conjunto de los pares ordenados de números reales z=(x,y) con las siguientes operaciones:
| |
| |
Con estas operaciones Ctiene la estructura de cuerpo conmutativo
| Elemento neutro: |
| Elemento opuesto: |
| Elemento unidad: |
| Elemento inverso: , siempre que
|

Nótese que el complejo (0,1) verifica ,es decir, (link a explicación de extensión de R añadiendo raices de ecuaciones algebraicas ) | El cuerpo de los complejos es lo que se denomina un cuerpo algebraicamente cerrado, es decir, todaecuación algebraica (polinómica) con coeficientes complejos tiene siempre al menos una raíz compleja (y por tanto las tiene todas).
|
| El cuerpo de los complejos no es un cuerpo ordenado. No puededarse en C una relación de orden total que respete las operaciones de suma y producto. No tiene por tanto sentido comparar dos números complejos en la manera en que estamos acostumbrados a hacer conlos reales. |
Otras formas de representar los números complejos
1. Forma binómica.
Podemos considerar C como un espacio vectorial isomorfo a , de este modo se tiene:

Gráficamente, podemosrepresentar (y por tanto C) como un plano.

Para cada número complejo z, la primera componente, x, se denomina parte real y la segunda, y, se denomina parte imaginaria.
Obviamente, dos números complejosson iguales si y sólo si lo son simultáneamente sus partes reales y sus partes imaginarias.
Usando este tipo de representación, la suma de complejos se corresponde con la suma de vectores. Dados dosvectores y su suma es
 
 Se define el módulo de un número complejo como el módulo del vector que lo representa, es decir, si , entonces el módulo de es .
El conjugado de un número complejo sedefine como su simétrico respecto del eje real, es decir, si , entonces el conjugado de es .
El opuesto de un número complejo es su simétrico respecto del origen.
 
Es fácil ver que se cumple, , por...
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