Lugar Geometrico
Páginas: 20 (4928 palabras)
Publicado: 20 de noviembre de 2012
UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE NUEVO LEÓN
FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA
Análisis del Lugar Geométrico de las Raíces (LGR) o Método de Evans
La característica básica de la respuesta transitoria de un sistema en lazo cerrado se relaciona estrechamente con la ubicación de los polos en lazo cerrado. Si el sistema tiene una ganancia de lazo variable, la ubicación de los polos en lazocerrado depende del valor de la ganancia de lazo elegida. Los polos en lazo cerrado son las raíces de la ecuación característica. W. R. Evans diseñó un método sencillo para encontrar las raíces de la ecuación característica, que se usa ampliamente en la ingeniería de control. Este método se denomina método del lugar geométrico de las raíces, y en él se grafican las raíces de la ecuacióncaracterística para todos los valores de un parámetro del sistema. Observe que el parámetro es, por lo general, la ganancia la cual se varía de cero a infinito, aunque es posible usar cualquier otra variable de la función de transferencia en lazo abierto.
Sea el siguiente sistema de control
La función de transferencia de lazo abierto y de lazo cerrado son
G (s) =
K s ( s + 4)
C (s) K = 2 R ( s) s + 4s + K
La ecuación característica de lazo cerrado
s 2 + 4s + K = 0
Las raíces de la ecuación característica o polos de lazo cerrado son
s1 , s2 = −2 ± 4 − K
INGENIERÍA DE CONTROL LUGAR GEOMÉTRICO DE LAS RAÍCES
1
M.C. JOSÉ MANUEL ROCHA NUÑEZ M.C. ELIZABETH GPE. LARA HDZ
UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE NUEVO LEÓN
FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA Y ELÉCTRICA
K
0 1 2 3 4 5 813
s1
-4 -3.732 -3.414 -3 -2 -2-i -2-2i -2-3i
s2
0 -0.267 -0.585 -1 -2 -2+i -2+2i -2+3i
Lugar geométrico de las raíces
De la grafica: El sistema es estable si K > 0 , dado que en esta condición ambos polos están en el lado izquierdo del plano s . Respuesta transitoria 1. Sobreamortiguada ( ζ > 1) (Polos reales y diferentes)
0< K 4
4. Sin amortiguamiento ( ζ = 0 ) (Polosimaginarios) No hay valor de K que haga que el sistema tenga este tipo de respuesta.
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Gráfica del lugar geométrico de las raíces
Considere el siguiente sistema de control, la función detransferencia de lazo cerrado es
C (s) R ( s)
=
G(s) 1+ G (s) H (s)
La ecuación característica de este sistema es
1+ G ( s) H ( s) = 0
o bien
G ( s ) H ( s ) = −1
El término G ( s ) H ( s ) es un cociente de polinomios en s . Como G ( s ) H ( s ) es una cantidad compleja se puede representar en, magnitud y ángulo Condición de ángulo
∠G ( s ) H ( s ) = ±180º ( 2k + 1)
Condición demagnitud
( k = 0,1, 2,K)
G ( s) H ( s) = 1
Los valores de s que cumplen tanto las condiciones de ángulo como las de magnitud son las raíces de la ecuación característica, o los polos en lazo cerrado. El lugar geométrico de las raíces es una gráfica de los puntos del plano complejo que sólo satisfacen la condición de ángulo. Las raíces de la ecuación característica (los polos en lazo cerrado)que corresponden a un valor específico de la ganancia se determinan a partir de la condición de magnitud. Magnitud y Ángulo en el plano s. Por ejemplo Si G ( s ) H ( s ) es
G ( s) H ( s) =
K ( s + z1 ) ( s + p1 )( s + p2 )( s + p3 )( s + p4 )
en donde − p2 y − p3 son polos complejos conjugados, el ángulo de G ( s ) H ( s ) es
∠G ( s ) H ( s ) = ∠ ( s + z1 ) − ∠ ( s + p1 ) − ∠ ( s + p2 )− ∠ ( s + p3 ) − ∠ ( s + p4 ) ∠G ( s ) H ( s ) = φ1 − θ1 − θ 2 − θ3 − θ 4
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La magnitud de G ( s ) H ( s ) para este sistema es
G ( s) H ( s) =
K s + z1 s + p1 s + p2 s + p3 s + p4...
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Análisis del Lugar Geométrico de las Raíces (LGR) o Método de Evans
La característica básica de la respuesta transitoria de un sistema en lazo cerrado se relaciona estrechamente con la ubicación de los polos en lazo cerrado. Si el sistema tiene una ganancia de lazo variable, la ubicación de los polos en lazocerrado depende del valor de la ganancia de lazo elegida. Los polos en lazo cerrado son las raíces de la ecuación característica. W. R. Evans diseñó un método sencillo para encontrar las raíces de la ecuación característica, que se usa ampliamente en la ingeniería de control. Este método se denomina método del lugar geométrico de las raíces, y en él se grafican las raíces de la ecuacióncaracterística para todos los valores de un parámetro del sistema. Observe que el parámetro es, por lo general, la ganancia la cual se varía de cero a infinito, aunque es posible usar cualquier otra variable de la función de transferencia en lazo abierto.
Sea el siguiente sistema de control
La función de transferencia de lazo abierto y de lazo cerrado son
G (s) =
K s ( s + 4)
C (s) K = 2 R ( s) s + 4s + K
La ecuación característica de lazo cerrado
s 2 + 4s + K = 0
Las raíces de la ecuación característica o polos de lazo cerrado son
s1 , s2 = −2 ± 4 − K
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0 1 2 3 4 5 813
s1
-4 -3.732 -3.414 -3 -2 -2-i -2-2i -2-3i
s2
0 -0.267 -0.585 -1 -2 -2+i -2+2i -2+3i
Lugar geométrico de las raíces
De la grafica: El sistema es estable si K > 0 , dado que en esta condición ambos polos están en el lado izquierdo del plano s . Respuesta transitoria 1. Sobreamortiguada ( ζ > 1) (Polos reales y diferentes)
0< K 4
4. Sin amortiguamiento ( ζ = 0 ) (Polosimaginarios) No hay valor de K que haga que el sistema tenga este tipo de respuesta.
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Gráfica del lugar geométrico de las raíces
Considere el siguiente sistema de control, la función detransferencia de lazo cerrado es
C (s) R ( s)
=
G(s) 1+ G (s) H (s)
La ecuación característica de este sistema es
1+ G ( s) H ( s) = 0
o bien
G ( s ) H ( s ) = −1
El término G ( s ) H ( s ) es un cociente de polinomios en s . Como G ( s ) H ( s ) es una cantidad compleja se puede representar en, magnitud y ángulo Condición de ángulo
∠G ( s ) H ( s ) = ±180º ( 2k + 1)
Condición demagnitud
( k = 0,1, 2,K)
G ( s) H ( s) = 1
Los valores de s que cumplen tanto las condiciones de ángulo como las de magnitud son las raíces de la ecuación característica, o los polos en lazo cerrado. El lugar geométrico de las raíces es una gráfica de los puntos del plano complejo que sólo satisfacen la condición de ángulo. Las raíces de la ecuación característica (los polos en lazo cerrado)que corresponden a un valor específico de la ganancia se determinan a partir de la condición de magnitud. Magnitud y Ángulo en el plano s. Por ejemplo Si G ( s ) H ( s ) es
G ( s) H ( s) =
K ( s + z1 ) ( s + p1 )( s + p2 )( s + p3 )( s + p4 )
en donde − p2 y − p3 son polos complejos conjugados, el ángulo de G ( s ) H ( s ) es
∠G ( s ) H ( s ) = ∠ ( s + z1 ) − ∠ ( s + p1 ) − ∠ ( s + p2 )− ∠ ( s + p3 ) − ∠ ( s + p4 ) ∠G ( s ) H ( s ) = φ1 − θ1 − θ 2 − θ3 − θ 4
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G ( s) H ( s) =
K s + z1 s + p1 s + p2 s + p3 s + p4...
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