Límite En Un Punto SOCRATES

Límite en un punto
El límite de la función f(x) en el punto x0, es el valor al que se acercan las imágenes (las y) cuando los originales (las x) se acercan al valor x0. Es decir el valor al que tienden las imágenes cuando los originales tienden a x0.
Vamos a estudiar el límite de la función f(x) = x2 en el punto x0 = 2.
x
f(x)
1,9
3,61
1,99
3,9601
1,999
3,996001
...
...
↓
↓
2
4
x
f(x)
2,1
4.412,01
4,0401
2,001
4,004001
...
...
↓
↓
2
4
Tanto si nos acercamos a 2 por la izquierda o la derecha las imágenes se acercan a 4.
Se dice que la función f(x) tiene como límite el número L , cuando x tiende a x0, si fijado un número real positivo ε , mayor que cero, existe un numero positivo δ dependiente de ε, tal que, para todos los valores de x distintos de x0 que cumplen la condición|x − x0| <δ , se cumple que |f(x) − L| < ε.


También podemos definir el concepto de límite a través de entornos:
 si y sólo si, para cualquier entorno de L que tomemos, por pequeño que sea su radio ε, existe un entorno de x0,Eδ(x0), cuyos elementos (sin contar x0), tienen sus imágenes dentro del entorno de L, Eε(L).
Técnicas Matemáticas de Resolución de Problemas
 
LÍMITE DE UNA FUNCIÓN
 
Idea intuitiva delímite de una función en un punto
El límite de una función y=f(x) en un punto x0 es el valor al que tiende la función en puntos muy próximos a x0
  
 
LÍMITES LATERALES
El límite por la izquierda de una función y=f(x), cuando x tiende a x0, es el valor al que tiende la función para puntos muy próximos a x0 pero menores que x0.
 

El límite por la derecha de una función y=f(x), cuando x tiende a x0, esel valor al que tiende la función para puntos muy próximos a x0 pero mayores que x0.
 

 
 
Relación entre el límite y los límites laterales de una función
 
 
El límite de una función y=f(x) en un punto x0 existe si y sólo si los límites laterales y coinciden:
 
                           
 
PROP. DE LOS LÍM. DE FUNCIONES
 
Si una función f(x) tiene límite cuando x tiende a x0, entonces ellímite es único.
 

 
Límite de una suma de funciones
El límite de una suma de dos funciones convergentes, es igual a la suma de los límites de cada una de ellas:
 
                     
 
 
Límite de una resta de funciones
El límite de una resta de dos funciones convergentes, es igual a la diferencia de los
límites de cada una de ellas:
 
                     
 
 
 
Límite de un producto de funcionesEl límite de un producto de dos funciones convergentes, es igual al producto de los límites de cada una de ellas:
 
                        
 
 
 
Límite de un cociente de funciones
El límite de un cociente de dos funciones convergentes es igual al cociente de los límites de cada una de ellas, si el denominador no es nulo:
 
                  
 
 
CÁLC. DE LÍMITES DE FUNC. ( I )
 
Cálculo dellímite de funciones polinómicas
Una función polinómica es una función del tipo:
 
                                
 
Para estudiar el cálculo de su límite, se distinguirán dos casos:
 

 
El límite de una función polinómica en un punto x0 es igual al valor que toma la función en ese punto:
 
        
 
B. Límite de una función polinómica en el infinito
 
El límite de una función polinómica en elinfinito es +¥ ó -¥, dependiendo de que el coeficiente del término de mayor grado del polinomio sea positivo o negativo:
 
              
 
             
 
 
Cálculo de límites de funciones racionales
 

Para estudiar el límite de una función racional, se distinguirán dos casos:
 

 
Puesto que una función racional es el cociente de dos polinomios, para calcular su límite puede aplicarse la regla para elcálculo del límite de un cociente de dos funciones:
 
                                         
 
Tanto el límite del numerador como el del denominador son límites de funciones polinómicas, cuyo cálculo se explicó en el apartado anterior.
 
Al efectuar estos límites pueden darse varias situaciones.
 
 

Se calculan en este caso los límites de P(x) y Q(x) como funciones polinómicas y se...