Lógica Proposicional

Apuntes de Lógica Proposicional

.a
r

La lógica proposicional trabaja con expresiones u oraciones a las cuales se les puede
asociar un valor de verdad (verdadero o falso); estas sentencias se conocen como
sentencias declarativas o, simplemente, proposiciones.

ch
io

.o

rg

Al escuchar algo como La rosa es una flor o El cocodrilo es un mamífero, fácilmente se puede
determinarsi estas expresiones son verdaderas o falsas; sin embargo, al escuchar No seas
tonto! o Quién ganará las elecciones?, no es posible asociar a ellas un valor de verdad.
Expresiones como las primeras dos son los elementos fundamentales con los que trabaja la
lógica proposicional.

or

Las siguientes expresiones son proposiciones:
-Todos los jueves llueve.
-Los caballos comen pasto.
-Tres esmayor que cinco.

jm

Las siguientes expresiones no son proposiciones:
-¿Qué hora es?
-Por favor, alcánzame aquello.

ww
w.

No existe una notación generalmente utilizada para representar proposiciones, pero en
este curso se identifica a cada una de ellas con una letra minúscula.
p: Algunos perros tienen ojos azules.
q: Dos más dos es cinco.
El valor de verdad de una proposición seindica con la letra T si es verdadero o con F si
es falso.
El valor de verdad no se indica con la letra V para evitar confusiones con un operador que se verá
más adelante.

Nuestro trabajo consiste en formular proposiciones (construir fórmulas) a partir de
expresiones en lenguaje natural.
Para ello, empleamos el lenguaje simbólico, llamado así porque utiliza una serie de
símbolos en laformulación de las proposiciones.
Las proposiciones pueden ser simples o compuestas.
Las proposiciones simples están formadas por dos términos vinculados por un operador
relacional.
Cada término debe ser un valor, una magnitud numérica o una expresión aritmética
que incluya valores y/o magnitudes numéricas.
El operador relacional indica la relación entre el término de la izquierda y el de laderecha.

Operador

Significado

Otras Formas

Igual a...

==

≠

Distinto de...

>

Mayor que...

<

Menor que...

≥

Mayor o igual que...

>=

≤

Menor o igual que

5)
(a+b ≤ 7)
(t < 20)

jm

Las proposiciones compuestas están formadas por una o más proposiciones simples
modificadas o vinculadas por conectivos u operadores lógicos.

ww
w.

OperadorDenominación

Significado

∧

Conjunción

Ambas son verdaderas

∨

Disjunción Incluyente

Al menos una es verdadera

∨

Disjunción Excluyente

Solo una es verdadera

~

Negación

No es verdadera

Tabla 2: Operadores Lógicos

La formulación de proposiciones compuestas en general se complica por las
ambigüedades del lenguaje natural y la utilización de términosdistintos para expresar la
misma cosa.
En general, se requieren varios pasos de descomposición del lenguaje natural para
poder llegar a formular con seguridad la proposición en lenguaje simbólico.
Ejemplos:
La temperatura está entre 15oC y 20oC.
La temperatura es al menos de 15oC y la temperatura como máximo vale 20oC.
(t ≥ 15 ) ∧ ( t ≤ 20 )
p: (t ≥ 15 )
q: ( t ≤ 20 )

p∧ q

.a
r

Ellargo supera los 3m pero no alcanza los 5m.
El largo es mayor a 3m y es menor a 5m.
El largo es mayor a 3m y el largo es menor a 5m.
(l > 3) ∧ (l < 5)
p: (l > 3)

rg

p∧ q
q: (l < 5)
Nótese que la palabra 'pero' tiene el mismo valor que 'y'.

or

ch
io

.o

El largo o el ancho es de 3 m.
El largo es de 3m o el ancho es de 3m.
(l = 3) ∨ (a = 3)
p: (l = 3)
p∨ q
q: (a = 3)Aquí tenemos una disjunción incluyente dado que es posible que ambas
proposiciones simples sean verdaderas.

ww
w.

jm

La altura es de 3m o 4m.
La altura es de 3m o la altura es de 4m.
(h = 3) ∨ (h = 4)
p: (h = 3)
p∨ q
q: (h = 4)
En este caso se trata de una disjunción excluyente porque es imposible que ambas
proposiciones simples sean verdaderas a la vez.
La capacidad del...