Método de crout

Método de Crout
En la descomposición o factorización LU, la matriz [L] tiene números 1 en su diagonal
principal. A este método se le denomina formalmente método de Doolittle. Una formulaciónalternativa con números 1 sobre la diagonal principal de la matriz [U] se conoce como método
de descomposición de Crout. Este método genera [U] y [L] recorriendo las columnas y las
filas de la matrizde forma alternada y se expresa mediante las siguientes fórmulas:
i1 i1 l = a …(41) para i =1,2,…, n
1
1
11
j
j
a
u
l
= …(42) para j = 2,3,…, n
Para j = 2, 3,…, n-1:
1
1
j
ij ij ik kjk
l a l u
-
=
= -
…(43) para i = j, j+1,…, n
y
1
1
j
jk ji ik
i
jk
jj
a l u
u
l
-
=
-
=


…(44) para k = j+1, j+2,…, n
Por último:
1
1
n
nn nn nk kn
k
l a l u
-
=
= -
….. (45)
Ejemplo. Resolver el siguiente sistema de ecuaciones mediante el método de Crout:
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2 2 2
3 1
2 4 0
x x x
x x x
x x x
+ + =
+ + =
+ + =
Solución.
[A] =
11 1213
21 22 23
31 32 33
2 1 2 0 0 1
1 3 1 0 0 1
2 1 4 0 0 1
l u u
l l u
l l l
     
        =    
     
     
1.
11 11
21 21
31 31
2
1
2
l a
l a
l a= =
= =
= =
2
2.
12
12
11
13
13
11
1
2
2
1
2
a
u
l
a
u
l
= =
= = =
3.
22 22 21 12
32 33 31 12
23 21 13
23
22
1 5
3 1
2 2
1
1 2 0
2
1 1(1)
0
5
2
l a l u
l a lu
a l u
u
l
  = - = -   =
 
  = - = -   =
 
= - = - =
4.
2 0 0 1 1 1 2 1 2 2
5
1 0 0 1 0 1 3 1
2
2 0 2 0 0 1 2 1 4
 
                =               
 
5.
1
1
11
2 21 1
2
22
3 31 1 32 2
3
33
2
1
2
1 1(1)
0
5
5
( ) 0 2(1) 0(0)
1
2
b
d
l
b l d
d
l
b l d l d
d
l
= = =
= - = - =
= - + = - - = -
6.[U]{x} = {d} (Sustitución hacia atrás)
1
2
3
1
1 1 1 2
0 1 0 0
0 0 1 1
x
x
x
 
     
          =  
    -       
 
Finalmente:
x1 = 2
x2 = 0
x3 =...