Máximo común divisor

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  | Máximo Común Divisor (MCD)ProblemaUna tienda de telas desea evitar pérdidas de dinero sobre los retazos que le van quedando de los cortes que vende, por lo que ha decidido dividirlos de tal manera que todos sean del mismo largo, sin que le sobre o le falte tela y evitar el desperdicio. Con unos retazos que sobran, de 240, 168 y 48 cm, desea confeccionar pañuelos,porque la tela tiene un ancho que puede usarse para pañuelos. ¿Cuál será la máxima medida en que debe dividirlos para que todos sean del mismo largo?Este problema muestra la importancia de saber encontrar el máximo común divisor de estos tres números, ya que éste es la respuesta del problema. El Máximo Común Divisor (MCD) llamado también Máximo Factor Común (MFC) de dos o más números es el más grandede sus divisores (o factores) comunes. Se escriben con mayúscula para distinguirlos del mínimo común múltiplo (mcm) que veremos al terminar este tema. Con el MCD puedes resolver el caso de los pañuelos.Primero: para encontrar el MCD, fíjate en el siguiente procedimiento. Necesitamos realizar la descomposición en factores primos, ya que ésta determina cuántos divisores tiene cada uno de estosnúmeros. Esta descomposición ya la sabemos hacer.Segundo: ya que tenemos los divisores (factores primos) de cada número, analizamos cuáles son los divisores comunes llamados también factores comunes.Vamos a escribirlos juntos para que nos sea más fácil determinarlos.240 = 2 4 • 3 • 5168 = 2 3 • 3 • 748 = 2 4 • 3Observamos que los divisores o factores comunes de estos tres números son 2 y 3, ya que 5 y 7no son comunes a los tres números en consideración.Tercero: el máximo común divisor de ellos es 23 • 3 = 24. ¿Por qué 23?. Vemos que en los tres casos hay 23 y también 3 (en 240, 168 y 48 tenemos 23 • 3). Fíjate que 5 y 7 sólo están presentes en un caso, no en los tres, por lo que no son divisores ni factores comunes.Entonces la respuesta al problema planteado es que los retazos deben dividirse en24 cm. de longitud. * ¿Cuántos pedazos de 24 cm de largo saldrían de cada retazo? Es importante contestar esta pregunta para comprobar que no falta ni sobra tela que se desperdicie. Respuesta:Del retazo de 240 cm salen exactamente 10 pedazos de 24 cm de longitud cada uno.Del retazo de 168 cm salen exactamente 7 pedazos de 24 cm de longitud cada uno.Del retazo de 48 cm salen exactamente 2pedazos de 24 cm de longitud cada uno.¿Te das cuenta de la importancia de saber obtener el MCD? Mínimo común múltiplo (mcm) de un naturalContesta la siguiente pregunta ¿cuál es el mínimo común múltiplo de 4, 6 y 8?Como su nombre lo indica, el mínimo común múltiplo de dos o más números naturales, es el menor de los múltiplos comunes de esos números. Para contestar la pregunta, necesitamos conocer, enprimer lugar, cuáles son los múltiplos de cada uno de estos números.Múltiplos de 4: 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40,…4n… ¿Cómo se obtiene? Multiplicando el 4 por n, es decir, si n vale 1, 4n=4; si n vale 2, 4n=8; si n vale 3, 4n=12; si vale 1 000 sería 4 000; que por supuesto es múltiplo de 4.Múltiplos de 6: 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54,…6n,…Múltiplos de 8: 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56,…8n…Yasabemos cuáles son los múltiplos del 4, 6 y 8 y cómo se obtienen. Ahora, vamos a fijarnos cuáles son los 3 primeros múltiplos comunes de estos tres números.Primeros tres múltiplos comunes de estos tres números: 24, 48 y 72.Finalmente, ¿cuál es el mínimo (el menor) común múltiplo de estos tres números? El 24.Conclusión: el mínimo común múltiplo de 4, 6 y 8 es el 24.Otra forma de obtener el mcm eseligiendo cada uno de los factores primos de estos números, una vez que cada uno se ha factorizado. Si alguno aparece varias veces, se elige una sola vez con el exponente más alto con el que aparezca. El producto de estos factores constituye el mcm.Ejemplo: Tenemos los números 4, 6 y 8; 4 = 2 2 ; 6 = 2 • 3; 8 = 2 3. Se elige cada uno de los factores primos del 4, 6 y 8, pero como el 2 aparece...
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