Método de elemento finitos

´
METODO DE LOS ELEMENTOS FINITOS.
Formulaci´n de problemas lineales 1D
o
Felipe Gabald´n Castillo
o
Grupo de Mec´nica Computacional (http://w3.mecanica.upm.es)
a
Escuela de Ingenieros de Caminos,
Universidad Polit´cnica de Madrid
e

Universidad T´cnica Nacional
e
Buenos Aires, 3 de octubre de 2007

´
Indice

1

Introducci´n
o

2

M´todo de elementos finitos
eIntroducci´n
o

El M´todo de los Elementos Finitos (M.E.F.) es un procedimiento
e
num´rico para resolver ecuaciones diferenciales de manera aproximada
e
El dominio en el que est´ definido el problema se divide en
a
“subdominios” denominados elementos finitos
El conjunto de elementos finitos que discretizan el dominio se
denomina malla

GM

C

Se abordan problemas de contorno (est´tica) yproblemas de valor
a
inicial (din´mica)
a

Felipe Gabald´n (UPM)
o

Formulaci´n lineal 1D
o

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Introducci´n
o

En general, la variable continua queda definida por sus valores
aproximados en puntos discretos, denominados nodos
La aproximaci´n de esta variable en puntos distintos de los nodos
o
(dentro de cada elemento) se interpola mediante funciones de
forma(generalmente polin´micas)
o

GM

C

Los grados de libertad son variables definidas en los nodos
(temperaturas, desplazamientos, etc). Tambi´n se denominan
e
inc´gnitas primarias o variables de estado.
o

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o

Formulaci´n lineal 1D
o

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Ejemplo: distribuci´n de temperaturas en una barra
o

Soluci´n aproximada
o
Soluci´n exacta
o1

2

4

5

2
3
4
Interpolaci´n lineal
o

GM

C

1

3

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o

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Formulaci´n lineal 1D
o

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GM

C

Motivaci´n
o

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o

Problema de contorno
Las ecuaciones que, de acuerdo con la mec´nica de medios continuos,
a
rigen el comportamiento de una fibrael´stica son las siguientes:
a
x

dσ
+b =0
dx
du
ε=
dx
σ = Eε

b dV

σ + dσ

σ

σ(0) = −t
u(L) = u

dx

GM

C

Las condiciones de contorno naturales se expresan en t´rminos de las
e
derivadas de u. Las condiciones de contorno esenciales se expresan
directamente en t´rminos de u.
e

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o

Formulaci´n lineal 1D
o

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9 / 22Formulaci´n fuerte
o
Sea Ω = Ω ∪ ∂Ω la parte del eje local x ocupado por la fibra el´stica
a
(Ω = (0, L), Ω = [0, L] y ∂Ω el contorno de la fibra: x = 0 y x = L). La
formulaci´n fuerte del problema se establece en los siguientes t´rminos:
o
e
Dados b : Ω → R y las constantes u ∈ R, t ∈ R, encontrar el campo de
desplazamientos u ∈ R que cumple:
d 2u
E 2 + b = 0 en Ω
dx
u(L) = u
du
dx

= −tx=0

GM

C

E

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o

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Formulaci´n d´bil
o e
Dados b : Ω → R y las constantes u ∈ R t ∈ R, encontrar el campo de
desplazamientos u ∈ δ | ∀w ∈ ν cumple:
L
0

dw du
dx =
EA
dx dx

L

wb dx + w (0)t
0

donde:
ν = w | w ∈ H 1 , w (L) = 0 ;

δ = u | u ∈ H 1 , u(L) = u

siendo H 1 el espacio deSobolev de orden 1 y grado 2:
1

H =

L

u(x) : Ω → R

|

2

dx < ∞

GM

C

0

du
dx

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Formulaci´n lineal 1D
o

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M´todo de Galerkin
e
La formulaci´n de Galerkin es el punto de partida del m´todo de
o
e
elementos finitos: permite obtener una soluci´n aproximada de la
o
formulaci´n d´bil.
o e
El primer paso es laconstrucci´n de los subespacios ν h y δh , que son
o
aproximaciones de dimensi´n finita de ν y δ:
o
νh ⊂ ν

(w h ∈ ν h ⇒ w h ∈ ν)

δh ⊂ δ

(u h ∈ δh ⇒ u h ∈ δ)

El m´todo de Galerkin establece que los elementos u h ∈ δh se
e
construyen a partir de los elementos v h ∈ ν h mediante:

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GM

donde u h es una funci´n dada...