Método De Gauus

ANALISIS NUMERICO UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO
RODAS HUAMANCHUMO ANTHONY PIERRE CODIGO: 070803F
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METODO DE GAUSS SEIDEL DEFINICION
En análisis numérico el método de Gauss-Seidel es un método iterativo utilizado para resolver sistemas de ecuaciones lineales. El método se llama así en honor a los matemáticos alemanes Carl Friedrich Gauss y Philipp Ludwig von Seidel y es similar al método deJacobi. Aplicación del método de GAUSS SEIDEL mediante el sistema de ecuaciones lineales
De la ecuación 1 despejar X1, de la ecuación 2 despejar X2,…, de la ecuación n despejar Xn. Esto da el siguiente conjunto de ecuaciones: Este último conjunto de ecuaciones son las que forman las fórmulas iterativas con las que se va a estar trabajando. Para comenzar el proceso iterativo, se le da el valor decero a las variables X2,…, Xn; esto dará un primer valor para X1. Más precisamente, se tiene que:
Enseguida, se sustituye este valor de X1 en la ecuación 2, y las variables X3,…, xn siguen teniendo el valor de cero. Esto da el siguiente valor para X2:
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Estos últimos valores de X1 y X2, sesustituyen en la ecuación 3, mientras que X4,…, Xn siguen teniendo el valor de cero; y así sucesivamente hasta llegar a la última ecuación. Todo este paso arrojará una lista de primeros valores para las incógnitas, la cual conforma el primer paso en el proceso iterativo. Para una mejor comprensión esto se simbolizará de esta forma: Se vuelve a repetir el proceso, pero ahora sustituyendo estos últimosdatos en vez de ceros como al inicio. Se obtendrá una segunda lista de valores para cada una de las incógnitas, lo cual se simbolizará así: En este momento se pueden calcular los errores aproximados relativos, respecto a cada una de las incógnitas. La lista de errores se presenta a continuación: El proceso se vuelve a repetir hasta que: Donde se debe prefijar convenientemente. Buscamos la solucióna un sistema de ecuaciones lineales, en notación matricial:
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El método de iteración Gauss-Seidel es
Donde
Para i=j, o para. Y
Esto es también que: Si
Definimos
y
.
Considerando el sistema Ax=b, con la condición de que, i= 1,..., n. Entonces podemos escribir la fórmula de iteración delmétodo
, i=1,..., n (*) La diferencia entre este método y el de Jacobi es que, en este último, las mejoras a las aproximaciones no se utilizan hasta completar las iteraciones. Convergencia Teorema: Suponga una matriz es una matriz no singular que cumple la condición de ó .
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Entonces el método deGauss-Seidel converge a una solución del sistema de ecuaciones Ax=b, y la convergencia es por lo menos tan rápida como la convergencia del método de Jacobi.
Para ver los casos en que converge el método primero mostraremos que se puede escribir de la siguiente forma:
(**)
(el término es la aproximación obtenida después de la k-ésima iteración) este modo de escribir la iteración es la formageneral de un método iterativo estacionario.
Primeramente debemos demostrar que el problema lineal que queremos resolver se puede representar en la forma (**), para este motivo debemos tratar de escribir la matriz A como la suma de una matriz triangular inferior, una diagonal y una triangular superior A=D (L+I+U), D= diag (). Haciendo los despejes necesarios escribimos el método de esta forma
Por lotanto B=-(L+I)-1 U. Ahora podemos ver que la relación entre los errores, el cuál se puede calcular al substraer x=Bx+c de (**)
Supongamos ahora que , i= 1, ..., n, son los valores propios que corresponden a los vectores propios ui, i= 1,..., n, los cuales son linealmente independientes, entonces podemos escribir el error inicial
(***) Por lo tanto la iteración converge si y sólo si | λi|...