método de reducción

El último de los métodos analíticos que vamos a aprender a utilizar en esta Unidad para resolver sistemas lineales de dos ecuaciones con dos incógnitas es el método de reducción. En resumen, consisteen multiplicar una o ambas ecuaciones por algún(os) número(s) de forma que obtengamos un sistema equivalente al inicial en el que los coeficientes de la x o los de la y sean iguales pero con signocontrario. A continuación se suman las ecuaciones del sistema para obtener una sola ecuación de primer grado con una incógnita. Una vez resuelta esta, hay dos opciones para hallar la otra incógnita: unaconsiste en volver a aplicar el mismo método (sería la opción más pura de reducción); la otra es sustituir la incógnita hallada en una de las ecuaciones del sistema y despejar la otra. Veamos elproceso por fases.

Se multiplican las ecuaciones por los números apropiados para que, en una de las incógnitas, los coeficientes queden iguales pero de signo contrario,

Se suman ambas ecuaciones delnuevo sistema, equivalente al anterior.

Se resuelve la ecuación lineal de una incógnita que resulta.

Para este paso hay dos opciones:

Se repite el proceso con la otra incógnita.

Sesustituye la incógnita ya hallada en una de las ecuaciones del sistema y se despeja la otra.

De nuevo es evidente que todas las aclaraciones hechas en la sección del método de sustitución sobre ladiscusión del sistema en orden a saber si tiene solución o no y cuántas (en caso de tenerlas), son igualmente válidas en este método.

Veamos de nuevo el mismo ejemplo de los métodos anteriores resueltopor el método de reducción:

Entre Ana y Sergio tienen 600 euros, pero Sergio tiene el doble de euros que Ana. ¿Cuánto dinero tiene cada uno?.
Llamemos x al número de euros de Ana e y al de Sergio.Vamos a expresar las condiciones del problema mediante ecuaciones: Si los dos tienen 600 euros, esto nos proporciona la ecuación x + y = 600. Si Sergio tiene el doble de euros que Ana, tendremos que...