Métodos no paramétricos en las pruebas de hipótesis

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1.13 Métodos no paramétricos en las pruebas de hipótesis

Los procedimientos no paramétricos o de distribución libre se están utilizando con mayor frecuencia en el análisis de datos. Existen muchas aplicaciones en la ciencia e ingeniería donde los datos se reportan no como valores en una escala continua sino más bien en una escala ordinal de tal forma que es bastante natural asignar rangos alos datos.

Es un ejemplo donde es aplicable la prueba no paramétrica, dos jueces podrían dar rango a cinco marcas de cerveza para premiación, asignándole un rango de 1 a la marca que se cree que tiene la mejor calidad global, un rango de 2 a la segunda mejor, y así sucesivamente. Una prueba paramétrica podría entonces utilizarse para determinar dónde existe alguna concordancia entre los dosjueces.

Se debe también observar que hay un número de desventajas asociadas con las pruebas no paramétricas. En primera estancia, éstas no utilizan toda la información proporcionada por la muestra, por lo que una prueba no paramétrica será menos eficiente que el correspondiente procedimiento paramétrico cuando ambos métodos son aplicables. En consecuencia, para alcanzar la misma potencia, una pruebano paramétrica requeriría un tamaño muestral más grande que la correspondiente prueba paramétrica.

1.13.1 Prueba de Signos

La prueba de los signos se utiliza para probar hipótesis de una mediana poblacional. En el caso de muchos procedimientos no paramétricos, la media se remplaza por la media como el parámetro de ubicación pertinente bajo prueba.
La contraparte poblacional, representadapor , tiene una definición análoga. Dada una variable aleatoria X, se define de tal forma que,

PX > μ=PX<μ= 0.5

Por supuesto, si la distribución es simétrica, la media y la mediana poblacional son iguales. Al probar que la hipótesis nula H0 de que μ=μ0 contra una alternativa apropiada, sobre la base de una muestra aleatoria de tamaño n, se reemplaza cada valor muestral queexcede a μ0 con un signo de mas y cada valor muestral menor que μ0 con un signo de menos.

El estadístico de prueba apropiada para la prueba de signos es la variable aleatoria binomial X, que representa el número de signos más en la muestra aleatoria. Si la hipótesis nula de que μ=μ0 es verdadera, la probabilidad de que un valor muestral resulte en un signo más o un signo menos es igual a ½.Por lo tanto, para probar la hipótesis nula de que μ=μ0 en realidad se ésta probando la hipótesis nula que el número de signos más es un valor de una variable aleatoria que tiene la distribución binomial con el parámetro p= ½. Los valores p para ambas alternativas unilateral y bilateral puede entonces calcularse utilizando esta distribución binomial. Por ejemplo al probar:
H0: μ=μ0
H1: μ <μ0Se rechazará H0 a favor fe H1 sólo si la proporción de signos más es bastante menor que 1/2, esto es, cuando el valor de x de la variable aleatoria es pequeño. De aquí que, si el valor P calculado:

P=P(X ≤x cuando p= 12 )

Es menor o igual que algún nivel de significancia preseleccionada ∝, se rechaza H0 a favor H1. Por ejemplo n=15 y x=3, se encuentra que:

P=P(X≤3 cuando p=12)
=x=03b15,12=0.0176

De tal forma que la hipótesis nula μ=μ0 puede ciertamente rechazarse al nivel de significancia de 0.05 pero no al nivel de 0.01
Para probar la hipótesis:
H0: μ=μ0
H1: μ >μ0

Se rechaza la H0 a favor de H1 solo si la proporción de signos, es bastante grande que ½, esto es, cuando x es grande. De aquí que, si el valor calculado de P:
P=PX ≥cuando p=12

Es menor que ∝ serechaza Ho a favor de H1. Finalmente, para probar la hipótesis:
H0: μ=μ0
H1: μ ≠μ0

Se rechaza H0 a favor de H1 cuando la proporción de signos más es bastante menor que ½. Esto, por supuesto, es equivalente a que x sea bastante pequeña o bastante grande. Por lo tanto si x <n2 y el valor calculado de P:

P=2PX ≤x cuando p=12

Es menor que o igual a ∝, o si x >n2 y el valor...
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