Métodos numericos

SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES

SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES

Métodos Exactos

Métodos Aproximados

Métodos Exactos
Sistemas fáciles de resolver

(i=1,2,3,…,n) !

Sustituciónprogresiva

Sustitución regresiva

(i=1,2,3,…,n) !

(i=n,n-1,……,1) !

Descomposición LDU

Sustitución progresiva
Sustitución regresiva

¿Cómo descomponer A en LU?

La descomposición no esúnica y valores para uii o lii deben ser especificados,
para nuestro caso se puede tomar uii =1.0 ó lii = 1.0 al multiplicar ambas
matrices tenemos:

donde nos hemos valido del hecho de que lis=0para s>i y usj=0 para s>j.

Si L triangular inferior y lii =1 Doolittle Si U triangular superior y uii =1 Crout
Tomemos uii =1

Eliminación Gaussiana

Ejemplo

Multiplicando la primerafila por 12/6 y restamos
a la segunda, después multiplicamos la primera
fila por 3/6 y la resto a la tercera fila y
finalmente multiplico la primera fila por -6/6 y la
restamos a la cuarta fila setiene

Multiplicando la segunda fila por -12/-4 y
restamos a la tercera, finalmente multiplicamos
la segunda fila por 2/-4 y la resto a la cuarta fila

Multiplicando la tercera fila por 4/2 yrestamos a
la última fila

Haciendo una sustitución Regresiva se tiene

Gauss-Jordan

Prosiguiendo con el ejemplo anterior partiendo de:

Multiplicando la última fila por 4/-3 y restamos ala primera fila, seguido multiplicamos la última
fila por 2/-3 y restamos a la segunda fila y
finalmente la última fila se multiplica por -5/-3 se
tiene

Multiplicando la tercera fila por 2/2 yrestamos a
la primera fila, seguido multiplicamos la tercera
fila por 2/2 y restamos a la segunda fila se tiene

M ultiplicando la segunda fila por -2/-4 y
restamos a la primera fila, se tieneDespejando se tiene

Principales problemas
Ejemplo
Donde ε es un número pequeño pero distinto de cero

Aplicando eliminación Gaussiana

Si ε es muy pequeño tenemos que al evaluarla...