Maduracion de queso

Integral Definida y Aplicaciones

LA INTEGRAL DEFINIDA Y SUS APLICACIONES
Autores:

Paco Martínez (jmartinezbos@uoc.edu), Patrici Molinàs (pmolinas@uoc.edu), Ángel A.

Juan (ajuanp@uoc.edu).

ESQUEMA DE CONTENIDOS

________________________
Aplicaciones

Integral
Definida

Aritmética
Volúmenes

El problema
del área

Funciones
Escalonadas

Integral de
Riemann

ÁreasSólidos de
Revolución

Método de
Regla de Barrow

Exhaución

Propiedades

Bajo una función

Proyecto e-Math
Financiado por la Secretaría de Estado de Educación y Universidades (MECD)

Entre dos funciones

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Integral Definida y Aplicaciones

INTRODUCCIÓN

___________________

En este math-bock trataremos el problema del cálculo del Área y su importancia en otras
ramas dela ciencia para la resolución de situaciones reales, tales como puede ser el cálculo
del espacio recorrido por un móvil en Física.
Le daremos un enfoque histórico y veremos algunos ejemplos que surgieron hace más de
2.000 años, cuando los griegos inventaron el método de exhaución para calcular áreas de
figuras planas. Veremos la relación que hay entre el área y la integral definida y la reglade
Barrow, conexión entre el Cálculo Diferencial y el Cálculo Integral.
Calcularemos también volúmenes de revolución, además de áreas, por medio de integrales
definidas.

OBJETIVOS

________________________

1.

Conocer y aplicar el método de exhaución.

2.

Calcular integrales definidas de funciones escalonadas y saber sus propiedades.

3.

Calcular el área encerrada por unafunción y el eje OX en un determinado intervalo.

4.

Hallar la superficie encerrada entre dos curvas.

5.

Saber utilizar la regla de Barrow para calcular integrales definidas y conocer la relación
entre las derivadas y las integrales.

6.

Calcular volúmenes de revolución engendrados por el giro alrededor del eje OX del
recinto limitado por una o dos funciones.

CONOCIMIENTOSPREVIOS

___________________________________

A fin de poder aprovechar al máximo esta unidad es recomendable tener conocimientos
básicos sobre funciones de una variable, derivación e integración indefinida, y uso del
programa Mathcad.

CONCEPTOS FUNDAMENTALES

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El problema del cálculo del área
Uno de los problemas que más repercusión ha tenido en lahistoria de las matemáticas es el
del estudio del área encerrada bajo una curva, pues tiene una aplicación inmediata en
algunos problemas de física.
Ejemplo: Consideremos un cuerpo que se mueve con una velocidad constante de 3m/s. La
gráfica velocidad-tiempo del cuerpo es la representada en el dibujo. Calcular el espacio
recorrido por el cuerpo entre t = 0 y t = 6, con las fórmulas de físicaconocidas. Estudiar la
relación que existe entre este resultado y el área encerrada por las rectas t = 0, t = 6, v = 0 y
v = 3.

Proyecto e-Math
Financiado por la Secretaría de Estado de Educación y Universidades (MECD)

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Integral Definida y Aplicaciones

v

t
Solución:
El hecho de que la velocidad sea constante nos indica que estamos en un caso de MRU, por
lo que deberemos usar lafórmula e = v*t que nos da el espacio recorrido por el cuerpo si
conocemos su velocidad y el tiempo transcurrido t. Por lo tanto, para calcular el espacio
recorrido por el cuerpo desde t = 0 hasta t = 6 hacemos e = 3*6 = 18, que coincide con el
área del rectángulo coloreado, y que es al mismo tiempo el área encerrada por las rectas:
t = 0, t = 6, v = O y v = 3.
Hasta ahora hemos calculado el áreaencerrada por funciones continuas pero ¿qué
haríamos para calcular el área encerrada bajo la función del dibujo 1 entre x = 1 y x = 4?,
¿es siempre posible descomponer la figura encerrada bajo una curva en figuras cuya área
conocemos?
Para investigarlo, consideremos la gráfica velocidad-tiempo del dibujo 2, y calculemos el
espacio recorrido entre t = 0 y t = 1. ¿Cómo calcularíamos,...