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METODOLOGÍA DE INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES Y FORMULACIÓN DE MODELOS
1.4 Formulación de problemas lineales.

Programación lineal
Definición: la programación lineal es una clase de modelos de programación matemática destinados a la asignación eficiente de los recursos limitados en actividades conocidas, con el objetivo de satisfacer las metas deseadas (maximizar beneficios o minimizar costos).Los principales elementos de un modelo de programación lineal son:
* Las variables o incógnitas
* La función objetivo
* Las restricciones
La característica distintiva de los modelos de programación lineal es que las funciones que representan el objetivo y las restricciones son lineales.
Los problemas de optimización se formulan muy a menudo verbalmente, para poder llegar a unasolución se requiere un planteamiento matemático. El procedimiento consiste en los siguientes pasos:
Paso 1: Identificar las variables de entrada, esto generalmente está en función de la pregunta del problema.
Paso 2: Determinar la cantidad que desea optimizarse y exprésese matemáticamente. A la ecuación resultante se le llama FUNCION OBJETIVO.
Paso 3: Identificar todos los requerimientos,restricciones o limitaciones y expresarse algebraicamente. A estas ecuaciones se les llama CONJUNTO DE RESTRICCIONES.
Paso 4: Expresar todas las condiciones ocultas, es decir, aquellas que el enunciado no mencione pero son obvias debido a la naturaleza del problema.

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1.5 Formulación de problemas más comunes.

EJEMPLO 1:
Lacompañía X tiene una fábrica situada en los alrededores de una gran ciudad. Su producción se limita a dos grandes productos industriales A y B. El departamento de contabilidad de la empresa ha calculado las contribuciones de cada producto en dólares: para el producto A, 10; para el producto B, 12. Cada producto pasa por 3 departamentos de la fábrica. Los requerimientos de cada producto y el total detiempo disponible en cada departamento, son los siguientes:
| Horas requeridas | |
Departamento | A | B | Horas disponibles al mes |
1 | 2.8 | 2.5 | 1800 |
2 | 3.0 | 3.2 | 2500 |
3 | 3.5 | 3.0 | 3000 |

¿Cuántas unidades deben producirse de A y B para maximizar los beneficios?
Paso 1
Sea X1= número de unidades a producir del producto A
X2= número de unidades a producir del productoB

Paso 2
Max X0 = 10X1 + 12X2 FUNCIÓN OBJETIVO
Paso 3 Restricciones
2.8X1 + 2.5X2 ≤ 1800
3.0X1 + 3.2X2 ≤ 2500
3.5X1 + 3.0X2 ≤ 3000

NOTA: 2.8X1 + 2.5X2 ≤ 1800
Las horas requeridas para producir A en el departamento 1
Las horas requeridas para producir B en el departamento 1
Disponibilidad de horas al mes para producir ambos productos en el departamento 1 (no debe exceder)Paso 4
X1 ≥ 0
X2 ≥ 0
Nota: condición de no negatividad (para todos los problemas)

MODELO:
Max X0 = 10X1 + 12X2
Sujeto a:
2.8X1 + 2.5X2 ≤ 1800
3.0X1 + 3.2X2 ≤ 2500
3.5X1 + 3.0X2 ≤ 3000
Xi ≥0

EJEMPLO 2:

La compañía de minas opera 3 minas en el norte de Durango. El mineral de cada una se separa antes de embarcarse en mineral de grado alto y mineral de gradobajo. La capacidad diaria de producción así como sus costos diarios de operación son los siguientes:

Mina | Mineral de grado alto Ton/día | Mineral de grado bajo Ton/día | Costo de operación ($/día) x 1000 |
1 | 4 | 4 | 30 |
2 | 6 | 4 | 29 |
3 | 1 | 6 | 35 |

La compañía de minas se comprometió a entregar 90 toneladas de grado alto y 115 de grado bajo, para fines de la semanasiguiente. Además, tiene contrato de trabajo que garantiza a los trabajadores de las minas el pago del día completo por cada día o fracción de día que la mina este abierta. Determínese el número de días que cada mina debería operar durante la siguiente semana, si la compañía ha de cumplir su compromiso al mínimo costo total.
EJEMPLO 3:
La compañía purina desea mezclar 500 kg de un suplemento...