Manual De Calculo Diferencial

UNIDAD I
LIMITES

INTRODUCCIÓN
Desde la antigüedad las nociones intuitivas de cambio continuo, crecimiento y movimiento, han atraído la atención de las mentes científicas. Sin embargo, el camino hacia el entendimiento de variación continua no fue logrado sino hasta el siglo XVII, cuando la ciencia moderna surgió y se desarrolló rápidamente en cercana conjunción con el cálculo diferencial eintegral, llamado brevemente Cálculo y el análisis matemático. Las nociones básicas del Cálculo son las de derivada e integral: la derivada es una medida de la “rapidez” de una variación; la integral, una medida del efecto total de un proceso de cambio continuo. Una comprensión precisa de estos conceptos y de su abrumadora fecundidad descansa sobre los conceptos de límite y función. Sologradualmente, penetrando más y más en la esencia del Cálculo, puede uno apreciar su potencia y belleza.

NOCIÓN INTUITIVA DE LÍMITES
En el estudio del Cálculo, el concepto de límite es uno de los conceptos más importantes

Definición 3.1
Limites Sucesiones que tienden a un valor a Dado un numero cualquiera a, el 3 por ejemplo, podemos formar una sucesión de números crecientes que se aproximan al 3 (sedice que tiende a 3 ) y otra de números decrecientes que también tienden a 3. Ejemplo: Una sucesión de valores crecientes que tienden a 3 es 1, 2, 2.5, 2.9, 2.99, 2.999, 2.9999,…. Y una sucesión de valores decrecientes es 4, 3.2, 3.1, 3.01, 3.001, 3.0001,…. Análogamente se pueden formar otras sucesiones para el numero 3, o bien para un numero cualquiera a… Limite de la Sucesión Se dice que ellimite de la sucesión 1, 1.3, 1.33, 1.333,….. Es 4 / 3 (que es el valor de la fracción generatriz de la sucesión porque la diferencia entre 4 / 3 y los valores de la sucesión

4 1 4 1 4 1 , − 1.33 = , Etcétera. − 1 = , − 1.3 = 3 3 3 3C 3 300 Llega a ser y se mantiene tan pequeña como se quiera, a partir valores de la sucesión en adelante. El limite de la sucesión 2, 1.4, 1.34, 1.334,…. También es4/3 2. El limite de la sucesión 1, 1.9, 1.99, 1.999,… Es porque las diferencias 2 – 1 = 1, 2 – 1.9 = .1, 2 – 1.99 = 0.1, etcétera,

Llegar a ser y se mantienen tan pequeñas como se quiera a partir de un valor de la sucesión en adelante. 3. La sucesión de números naturales 1, 2, 3, 4, 5, …. n, n+1, …. No tiene limites, pero como llegar a ser y se mantiene mayor que un numero positivo cualquierapor grande que se tome se dice que la sucesión tiende a más infinito. 4. Si se toman los valores por defecto y por exceso de sucesiones Valores Crecientes Valores decrecientes Que tiene por límite 1, 1.4, 1.41, 1.414,…. 2, 1.5, 1.42, 1.415,….
2 se obtienen las

2.

TEOREMAS SOBRE LÍMITES
En el cálculo del límite de una función tiene aplicación los teoremas siguientes. Supongamos que u , v y wsean funciones de una variable x y que
lim u = A, x→a lim v = B, x→a lim w = C. x→a

Entonces son ciertas las siguientes relaciones. lim(u + v − w) = A + B − C (1) x→a lim(uvw) = ABC (2) x→a u A (3) lim = , Si B no es cero. v B
El límite de una suma algebraica, de un producto o de un cociente es igual, respectivamente, a la suma algebraica, al producto cociente de los límites respectivos, contal de que, en el último caso, el límite del divisor no sea cero. Si c es una constante (independiente de x) y B no es cero, de lo anterior se deduce: c c lim(u + c) = A + c, lim cu = cA, lim = . (4) v B x→a x→a x→a

LIMITE DE UNA FUNCIÓN
1. Si tenemos la función
y = x +1

Y tomamos una sucesión de valores crecientes de x que tienen a 3 y otra sucesión de valores decrecientes que tambiéntienden a 3, y hallamos los valores de la función para los valores de estas sucesiones tendernos: Valores Crecientes x 1 1.9 1.99 1.999 2 Y 3 3.9 3.99 3.999 4 Valores Decrecientes
X 4 3.1 3.01 3.0001 3 y 5 4.2 4.01 4.001 4

En este caso decimos que el limite de la función y= x2 + 1 Cuando x tiende a 3 es 4, y se escribe
Lim (x+1) = 4. X 3

2. Para calcular el límite de la función y = x2 + 4...