Manual De Calculo Vectorial

UNIDAD II: CURVAS EN R2 Y ECUACIONES PARAMÉTRICAS.
2.1. Curvas planas.
Una curva plana es un conjunto de C pares ordenados de la forma
f (t ), g (t )

Donde f y g son funciones continuas en un intervalo I.
Suponga que x e y se dan como funciones de una tercera variable t (llamada
parámetro) mediante las ecuaciones

x = f (t )
y = g (t )
Llamadas ecuaciones paramétricas. Cada valor de tdetermina un punto (x, y) , que
se puede representar en un sistema coordenado.
Ejercicio: bosqueje e identifique la curva definida por las ecuaciones paramétricas
x = t 2 − 2t
y = t +1
t
-2

x
x = ( −2 ) − 2 ( −2 ) = 4 + 4 = 8

y
y = −2 + 1 = −1

Coordenada
(8, −1)

-1

x = ( −1) − 2 ( −1) = 1 + 2 = 3

y = −1 + 1 = 0

0

x = ( 0) − 2 ( 0) = 0

y = 0 +1 = 1

1

x =(1) − 2 (1) = 1 − 2 = −1

y = 1+1 = 2

2

x = ( 2) − 2 ( 2) = 4 − 4 = 0

y = 2 +1 = 3

3

x = ( 3) − 2 ( 3 ) = 9 − 6 = 3

y = 3 +1 = 4

4

x = ( 4 ) − 2 ( 4 ) = 16 − 8 = 8

y = 4 +1 = 5

( 3, 0 )
( 0,1)
( −1, 2 )
( 0,3)
( 3, 4 )
(8,5 )

2

2

2

2

2

2

2

1
MATEMÁTICAS III: CÁLCULO VECTORIAL
M. C. FRANCISCO SÁNCHEZ MARES

En este ejemplo elparámetro t fue irrestricto, así que se supone que t podría ser
cualquier número real. No obstante, algunas veces t se restringe a estar en un
intervalo finito. Por ejemplo, la curva paramétrica
x = t 2 − 2t y = t + 1 0 ≤ t ≤ 4
t
0

x
x = ( 0) − 2 ( 0) = 0

y
y = 0 +1 = 1

Coordenada
( 0,1)

1

x = (1) − 2 (1) = 1 − 2 = −1

y = 1+1 = 2

2

x = ( 2) − 2 ( 2) = 4 − 4 = 0

y = 2 +1 =3

3

x = ( 3) − 2 ( 3 ) = 9 − 6 = 3

y = 3 +1 = 4

4

x = ( 4 ) − 2 ( 4 ) = 16 − 8 = 8

y = 4 +1 = 5

( −1, 2 )
( 0,3)
( 3, 4 )
(8,5 )

2

2

2

2

2

2
MATEMÁTICAS III: CÁLCULO VECTORIAL
M. C. FRANCISCO SÁNCHEZ MARES

Traza la curva que se genera por las ecuaciones parámetricas

x = cos t y = sin t 0 ≤ t ≤ 2π
Recordar que

π
2

= 90°

π = 180°
2π =360°
t
0
90
180
270
360

cos t
1
0
-1
0
1

sin t
0
1
0
-1
0

Coordenada
(1, 0)
(0, 1)
(-1, 0)
(0, -1)
(1, 0)

3
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M. C. FRANCISCO SÁNCHEZ MARES

Trazar la gráfica para

x = sin 2t
y = cos t
0 ≤ t ≤ 2π

Trazar la gráfica para
x = t 4 − 3t 2
y=t
−3 ≤ t ≤ 3

4
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M. C. FRANCISCO SÁNCHEZMARES

Eliminación del parámetro.
Ejercicios:
x = 2t
x
2
y = t 2 −1

t=

x = 2t
y = t 2 −1

2

x
y =   +1
2
x2
y = +1
4

x = −2 + t 2
2

t2 = x + 2

2

y = 1 + 2t 2

x = −2 + t
y = 1 + 2t

y = 1 + 2 ( x + 2)
y = 1 + 2x + 4 = 2x + 5

x = a cos t
x
= cos t
a
y = a sin t
x = a cos t
y = a sin t

y
= sin t
a
cos 2 t + sin 2 t = 1
2

2

x  y  +  =1
a a
x2 + y2
=1
a2
x2 + y2 = a2

5
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x = t 2 − 2t
y = t +1

x = t 2 − 2t
y = t +1
t = y −1
x = ( y − 1) − 2 ( y − 1)
2

x = y2 − 2 y +1− 2 y + 2
x = y2 − 4 y + 3
2.2. Derivada de una función dada paramétricamente.
Si la dependencia entre la función y y la variable x viene dada por medio delparámetro t
 y = f (t )


x = g (t )

Se tiene

dy
dy f ´( t ) dt y´
=
=
=
dx g´( t ) dx x´
dt
Ejemplos:
1. Encontrar la pendiente de las rectas tangente y normal en el punto P(x,y) a la
curva con parametrización
x = 2t
y = t 2 −1
−1 ≤ t ≤ 2
dy 2t
= =t
dx 2

2. Sea C una curva con ecuaciones paramétricas
x = t 3 − 3t
y = t 2 − 5t − 1
t∈R

Encontrar la ecuación de unarecta tangente a C en el punto correspondiente a t = 2.
6
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dy y´ 2t − 5
==
dx x´ 3t 2 − 3

Calcular el punto a t = 2.

x = t 3 − 3t = ( 2 ) − 3 ( 2 ) = 8 − 6 = 2
3

y = t 2 − 5t − 1 = ( 2 ) − 5 ( 2 ) − 1 = 4 − 10 − 1 = −7
2

P(2, −7)

m=

dy 2 ( 2 ) − 5
1
=
=−
2
dx 3 ( 2 ) − 3
9

Aplicando la forma...