Cálculo Vectorial

TEOREMAS INTEGRALES DEL 
CÁLCULO VECTORIAL
Dr. Baltasar Mena Iniesta

Cálculo Diferencial de Vectores
Operador Vectorial 
∇=

1∂
1∂
1∂
eu +
ev +
ew
hu ∂ u
hv ∂ v
hw ∂ w

En coordenadas cartesianas: 

∂
∂
∂
∇= i+ j+ k
∂x ∂y
∂z

Campo Vectorial 
V = u( x ,y ,z )i + v( x ,y ,z ) j + w( x ,y ,z )k

a) Gradiente 

⎡u
x
⎢
∇V = ⎢ vx
⎢wx
⎣

uy
vy
wy

uz ⎤
⎥vz ⎥
wz ⎥
⎦

Tensor de segundo orden

b) Divergencia 
∇ • V = tr∇V =

∂u ∂v ∂w
++
∂x ∂y ∂z

ESCALAR 
(1er invariante del tensor gradiente) 

c) Rotacional 
i

∇× V =

j

k

u

v

w

∂∂∂
∂x ∂y ∂z

Casos Particulares

∇•V =0
Campo Solenoidal o cuerpo incompresible 

∇× V = 0
Campo Conservativo o Campo Irrotacional 

Consecuencias
Si 

∇ × V = 0 , V =∇φ
V = ui + vj + wk =

∂φ ∂φ ∂φ
i+
j+ k
∂x ∂y
∂z

φ ( x ) = ∫udx + C1
φ ( y ) = ∫vdy + C2 ⇒ φ ( x ,y ,z ) = U(φ ( x ),φ ( y ),φ ( z ))
φ ( z ) = ∫wdz + C3

Como 

Si 

φ : Función Potencial (escalar)

∇× V = 0

y además 

∇• V = 0

⇒ ∇ φ = 0 Ecuación de Laplace
2

Cálculo Integral de Vectores
1. Integral de Línea

El campo
trayectoria

actúa

tangencialmente

ala

r( s) = x( s)i + y( s) j + z( s)k
r( t ) = x( t )i + y( t ) j + z( t )k
b

∫F • dr = ∫F( c( t )) • Tdt
C

a

dr
dr
Donde T =
= dt
ds dr
dt
Si la curva es cerrada  i.e 

Γ=

∫ F • dr
C

a=b

Γ = circulación de campo F alrededor de la curva C

Caso Especial
Si 

b

∇ × F = 0 ⇒ F = ∇φ

y

Obviamente si 
C

es cerrada 

∫F • dr = φ

b

− φa

a∫ F • dr = 0
C

En general si 

C

no es cerrada 

∫ F • dr ≠ 0
C

2. Si C es cerrada, define una superficie S

Circulación alrededor de C =

∫ F • ds
C

Definición

1
Δs → 0 Δs
lim

∫ F • ds = ∇ × F = rot F

d
1
(circulación) = ( circulación )
Δs →0 Δs
ds

pero lim

∫ F • ds = ∫∫ ∇ × F • nds

ds = nds
La circulación del campo F alrededor
de la curva C querodea la sup erficie S

C

=

S

Rotacional del campo F sobre la
sup erficie S rodeada por la curva C

TEOREMA DE STOKES

Otra forma de expresar 
el Teorema de Stokes
La cantidad de amor que circula
en un corazón no depende del
tamaño del mismo, sino de la
intensidad del flechazo

2. Si S es cerrada, define un volumen V

La componente F • n es perpendicular
a la superficie S y penetra o sale del volumen V

Definición
1
ΔV → 0 ΔV
lim

∫ F • nds = ∇ • F = div F

1
d
( flujo neto) = dV ( flujo neto)
ΔV → 0 ΔV

pero lim

ds = nds

∫ F • nds = ∫∫∫ ∇ • FdV
S

V

El flujo neto del campo F através
Divergencia del campo F alojada
=
de la sup erficie S que rodea el volumen V
en el volumen V

TEOREMA DE GAUSS

Casos Especiales
Si F essolenoidal , ∇ • F = 0
El flujo neto de campo F através de la superficie
S que rodea al volumen V es CERO. (incompresibilidad)

Si F es conservativo, ∇ × F = 0
La circulación del campo F alrededor de cualquier
curva cerrada C es CERO.

Casos Especiales
Si F = M ( x , y )i + N ( x , y )j

R2

⎛ ∂N ∂M ⎞
∇× F =⎜
−
⎟k y el Teorema de Stokes
⎝ ∂x ∂y ⎠

∫
C

⎛ ∂N ∂M ⎞
F • ds = ∫∫ ⎜
−⎟k • kdxdy
∂x ∂y ⎠
S⎝

⎛ ∂N ∂M ⎞
∫ F • ds = ∫∫ ⎜ ∂x − ∂y ⎟ds Teorema de Green
⎠
C
S⎝

Aplicaciones
Ecuación de Balance de Masa : "ρ"
Cantidad de masa en V en un instante dado

∫∫∫ ρdV

(1)

V

Cambio de masa en V a través del tiempo ( tasa de cambio )
si ρ = ρ ( t )

∂
∂t

∫∫∫ ρdV

(2)

V

El cambio de masa se debe a que la masa penetra o sale del volumen V através de la
sup erficie S y en dirección perpendicular a la misma , es decir la masa total que penetre
al volumen V através de la sup erficie S , a una velocidad v será :
− ∫∫ (ρv ) • nds
S

(3)

∂
entra a la integral
∂t

De ( 2 ) y ( 3 ), si ρ = ρ ( t )

∂ρ

∫∫∫ ∂t dV = − ∫∫ (ρv ) • nds
V

(4)

S

Utilizando el Teorema de Gauss

∫∫ (ρv ) • nds = ∫∫∫ ∇ • (ρv )dV
S

En...