Manuales de procedimientos

Instituto tecnológico del valle de
oaxaca

matematicas II

por : david zamario juarez

ing : eliseo cortes chavez

4 unidad

aplicaciones dela derivada

APLICACIONES DE LA DERIVADA.

Rapidez de cambio

La expresión [pic] representa el cuociente entre la variación de la variable dependiente (función) y la variación experimentada por la variableindependiente, por este motivo se le denomina razón media de cambio de la función f(x), cuando se toma el límite a esta expresión en que Δx → 0, es decir la derivada, se le denomina también razón instantánea de cambio.

Este concepto se aplica también en cinemática al expresar la posición de un cuerpo con movimiento unidimensional en función del tiempo x = x(t), en tal caso la razón instantánea decambio de la posición, corresponde al concepto de rapidez instantánea.

[pic]

Para encontrar entonces la razón de cambio se debe determinar en primer lugar la relación entre las variables mediante una función y posteriormente obtener su derivada.

Ejemplo:

Encontrar la rapidez de variación del volumen de un cubo con respecto a la longitud de un lado.

Solución:

Si la relación entre elvolumen de un cubo (V) y la longitud de uno de sus aristas (a) es:

V = a3 entonces obteniendo dV/da se tiene la variación, esto es: V´ = 3a 2

Ejemplo:

Se vierte agua en un estanque cilíndrico de 2 metros de radio basal y 4 metros de altura a razón de 50 litros por minuto. ¿Con que rapidez asciende el nivel del agua?

Solución:

Llamando h a la altura del nivel de líquido encualquier momento, se puede expresar el volumen del contenido en función de h de la forma: V = π r2 h despejando h se tiene:

h = [pic] en que π y r son constantes, luego derivando resulta: [pic]
pero dado que ingresa agua a razón de 50 litros por minuto (dV/dt) entonces:

[pic]
Funciones crecientes y decrecientes y su relación con la derivada
Sea f una función continua con ecuación[pic], definida en un intervalo [pic].
La siguiente es la representación gráfica de f en el intervalo [pic].

|[pic] |

En la representación gráfica anterior puede observarse que la función f es:
1. Creciente en los intervalos [pic], [pic]
2. Decreciente en los intervalos [pic], [pic]
Tambiénse tiene que cuando la pendiente de la recta tangente es positiva, la función f crece; y cuando la pendiente de la recta tangente es negativa, la función decrece.

Note además que en los puntos [pic], [pic]y [pic]la recta tangente es horizontal, por lo que su pendiente es cero, es decir, la primera derivada de la función se anula en cada uno de esos puntos.

En los siguientes teoremas seformalizan las apreciaciones anteriores.

Teorema 1   Sea f una función continua en un intervalo cerrado [pic]y derivable en el intervalo   abierto [pic].
1. Si [pic]para toda x en [pic], entonces la función f es creciente en [pic].
2. Si [pic]para toda x en [pic], entonces la función f es decreciente en [pic].

Ejemplo:
1. Determinemos los intervalos en que crece o decrece la funcióncon ecuación [pic].

Para ello calculemos la primera derivada de [pic].

Como [pic], o sea si [pic], entonces f es creciente para [pic].

Como [pic], o sea si [pic], entonces f es decreciente para [pic].

En la representación gráfica de la función puede observarse lo obtenido anteriormente.

[pic]

Máximos y mínimos de una función

Definición: Decimos quef(c) es el valor máximo absoluto de una función f en un intervalo (a,b) que contiene a c, si f(c) ≥ f(x) [pic]x [pic] (a,b). De manera análoga se define un valor mínimo absoluto de una función en su intervalo.

Teorema: Diremos sin demostración que si f(x) es continua en un intervalo cerrado [a,b], entonces f(x) tiene un máximo y un mínimo en [a,b]

Extremos de una función.

f(x)...