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Números Complejos y su álgebra

Números complejos y su algebra Los números usados en álgebra elemental y en cálculo se llaman números reales. Éstos son todos aquellos que pueden representarse geométricamente por los puntos de una línea recta in…nitamente larga. Sin embargo, los números reales tienen una de…ciencia básica: no proporcionan todas las soluciones posibles de las ecuacionespolinomiales. Por ejemplo, la ecuación x2 + 1 = 0 no puede resolverse usando números reales, ya que el cuadrado de cualquier número real es no negativo. No obstante, podemos corregir este defecto si de…nimos el conjunto de números complejos C que se forma de todos los pares ordenados z = (x; y) de números reales x y y, con las siguientes operaciones de suma y multiplicación: (x; y) + (a; b) = (x + a;y + b) ; (x; y) (a; b) = (xa yb; xb + ya) Números complejos y su algebra Veri…quemos como quedaria (x; 0) (a; b) (xa 0 (b) ; xb + y (0)) (xa; xb) lo cual nos esta indicando que el vector se alarga o se acorta por un factor x si x > 0 y también se re‡ se re‡ respecto al origen si x < 0; además eja eja (0; 1) (a; b) = (0 (a) (1) b; (0) b + 1 (a)) = ( b; a)

lo cual indica que al multiplicarcualquier número complejo por (0; 1) ; el vector rota =2 radianes en sentido contrario al de las manecillas del reloj. Números complejos y su algebra Si representamos (x; 0) por x y denotamos (0; 1) por el símbolo i; podemos reescribir z = (x; y) en la forma z = x + iy Esta es la notación estándar para los números complejos. El símbolo i se llama unidad imaginaria, y satisface la propiedad i2 = (0; 1)(0; 1) = ( 1; 0) o i2 = 1 1

Números complejos y su algebra EL origen del sistema coordenado se denota por el número complejo 0. El modelo de plano Cartesiano de los números complejos se llama plano complejo. Cuando nos referimos al número complejo z = x + iy; llamamos a x parte real de z, y lo denotamos por Re z. El número y llamado parte imaginaria de z y se denota Im z. Si x = 0; tendremos z= iy; y entonces se dice que z es imaginario puro. Ejemplo 1 Encuentre las partes real e imaginaria de z = 2 + 3i: Re z = 2 Im z = 3 Si usamos la notación z = x + iy para los números complejos, las de…niciones de suma y multiplicación nos permiten realizar estas operaciones con números complejos de la misma manera en que lo hacemos con los polinomios, excepto que i2 = 1 : Ejemplo: (1 + 2i) + (2 +3i) los terminos constantes se suman entre si, y los terminos con i se suman tambien entre si. (1 + 2) + (2i + 3i) (3) + (2 + 3) i 3 + 5i Calcular z1 + z2 y z1 a) z1 = 1 + i z1 + z2 (1 + i) + (1 (1 + 1) + (1 2 i 2i) 2) i z2 = 1 z2 2i

z1

z2 (1 2i)

(1 + i)

(1 + i) + ( 1 + 2i) (1 3i z1 = 2 z1 + z2 z2 =
1+i p 2

1) + (1 + 2) i

2

2+

1+i p 2 1 p 2

2+
3

+ 0+ +
1 p 2

1p 2

i

2 2 p+1 2

i

2:7071 + 0:70711i

z1 2 2
3

z2
1+i p 2 1 p 2

+ 0 +
1 p 2

1 p 2

i

2 2p 1 2

i

1:2929

0:70711i

2
2.1

Multiplicación y división
Potencias de i

Potencias de i p i= 1 p 2 1 = i2 =
3 2 4 2 2

1 i

i = i i = ( 1) i =

i = i i = ( 1) ( 1) = 1 i5 = i2 i3 = ( 1) ( i) = i i6 =
1 4 5 4

1; i7 =

i; i8 = 1

Veri…camos que existeun patron = 0:25; 2 = 0:5; 3 = :75; 4 = 1 4 4 4 = 1:25; 6 = 1:5; 7 = 1:75; 8 = 2 4 4 4 1; :75 = i; :0 = 1

:25 = i; :5 =

como calculamos por ejemplo i3899 Divimos 3899 entre 4: 3899 = 974:75 como el numero despues del punto decimal 4 es 75 entonces i3899 = i Que pasaria si tuvieramos i i
25 25

= =

i
1 i25

3

= =
50 4 25 4

1 i25 i25 i25 i25 i50

= 12:5 como es :5 i50 es =6:25 como es :25, i
25 2 6 10 25

1

es i i
4 8

Por lo que i i i i
1 5 9

=

i 1

=
3 7

= = =

i i i i i i

= = =

1 i 1 i 1 i

=i i =i i =i i

=1 =1 =1

11

12

2.2

Multiplicación

Multiplicación (1 + 2i) (2 + 3i) 1 (2 + 3i) + 2i (2 + 3i) = 2 + 3i + 4i + 6i2 = 2 + 7i = 6

4 + 7i

(3

2i) (1 + 3i) 2i (1 + 3i) 2i 6i2

3 (1 + 3i) 3 + 9i

3 + 7i +...